复习参考题第二课时教案

圆与方程

教学目标：

知识与技能：能根据给定直线、圆与方程、判断直线与圆的位置关系

能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系

能用直线与圆的方程解决一些简单的问题

过程与方程：进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

知识梳理：

1．直线与圆的位置关系

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设判别式为Δ，圆心C到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系可由下表进行判定：

位置关系

几何法

代数法

相离

相切

相交

2．圆与圆的位置关系

利用圆心距与两圆半径的大小关系来判别两圆的位置关系，设圆心距为d，两圆半径为R、r，且R＞r.则它们的位置关系可由下表来判定：

位置关系

外离

外切

判定方法

位置关系

判定方法

位置关系

判定方法

热身练习

相交

内切

内含

1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(

)

A．相切

B．相交但不过圆心

C．直线过圆心

D．相离

2．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(

)

A.3或－3

B．－3或33

C．－33或3

D．－33或33

3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(

)

A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

4．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(

)

A．相离

B．相交

C．外切

D．内切

考点一·直线与圆的位置关系

【例1】过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，则切线方程为____________．

解：因为(2－1)2＋(4＋3)2>1，所以M在圆外．

若切线的斜率存在，

设过M的切线斜率为k，则切线方程为y－4＝k(x－2)．

|k＋3＋4－2k|24由已知，有＝1，所以k＝7.

k2＋124故切线方程为y－4＝7(x－2)．

又切线斜率不存在时，直线x＝2也满足条件．

故所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.

答案：24x－7y－20＝0或x＝2 点评：(1)求圆的切线方程常用方法是待定系数法，即先设出切线方程，再由相切的条件确定其中的参数值．

(2)过某一点求圆的切线方程，一般要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若在圆外，切线应该有两条．设切线的点斜式方程时，需注意斜率不存在的情况．

考点二·有关弦长问题

【例2】

(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.

y＝x＋1，解：(方法一)由22得x2＋2x＝0，

x＋y＋2y－3＝0，

设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＝0，x2＝－2. 所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋12|0＋2|＝22. (方法二)由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4. 所以圆心C(0，－1)，半径r＝2. |1＋1|圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2，

2所以|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22. 点评：(1)求直线与圆相交所得弦长，主要有两种方法——代数方法与几何方法：

代数方法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|；

几何方法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.

（2）由于几何法抓住了圆的特性，故涉及圆的弦长问题时，一般采用几何法．

变式探究：

2．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A,B两点,若|AB|＝23,则圆C的面积为

. 解：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2,所以圆心C(0,a),半径r＝a2＋2.

点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离

|0－a＋2a|d＝,又|AB|＝23, 2232|0－a＋2a|2所以(2)＋()＝a2＋2, 2解得a2＝2,所以r＝2.

所以圆C的面积为π×22＝4π.

考点三：圆与圆的位置关系

【例3】已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由两圆外一点P(a，b)引两圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，且满足|PA|＝|PB|. (1)求实数a，b间满足的关系式；

(2)求切线长|PA|的最小值．

解：(1)因为|PA|＝|PO|2－1，|PB|＝|PC|2－1，

所以a2＋b2＝(a－2)2＋(b－4)2，

所以a＋2b－5＝0为a，b满足的关系式．

(2)|PA|2＝|PO|2－1＝(5－2b)2＋b2－1＝5(b－2)2＋4，

所以当b＝2时，|PA|min＝2.

点评：研究圆的切线时，要注意切线的性质，研究两圆的位置关系常转化为两圆半径与圆心距的关系来研究．

1．处理直线与圆、圆与圆的位置关系问题，一般有代数法和几何法两种，由于用几何法处理抓住了圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷些．如利用圆的弦长公式：l＝2R2－d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)，由于抓住了半弦长、半径及弦心距这三条线段构成直

角三角形这一特点，因此利用这一公式求弦长比用代数法求弦长要方便．

2．处理直线与圆、圆与圆的位置关系，要全面地考虑各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合乎要求，两圆相切应考虑外切和内切两种情况．

3．研究圆的有关问题要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于经过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等，寻找解题途径，简化运算

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