习题3.3教学设计与反思

直线的方程（习题3.3）习题课

宁夏银川高级中学 李鹏举

教学目标

1.

知识与技能：

通过对本节知识的学习，进一步掌握两直线交点求法，并理解直线的位置关系与两直线方程组成的方程组的解之间的关系；会求两点间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离，并能利用两直线的交点和距离公式解决与对称相关的问题及综合性问题. 2.

过程与方法：

通过对直线交点与距离的求解，提高学生准确应用所学知识分析问题和解决问题的能力和对数形结合、分类讨论数学思想的体会和应用. 3.

情感态度与价值观：

通过本节知识的学习，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系，相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题. 教学重点与难点：

重点：两直线的交点、各种距离的计算及其应用. 难点：利用所学知识解决与对称有关的问题. 教学方法：

启发引导、讲练结合、合作交流相结合

教学过程：

一、知识回顾

1.两条直线的交点

设两条直线的方程是l1:A1xB1yC10, l2:A2xB2yC20

AxB1yC10两条直线的交点坐标就是方程组1的解

AxByC0222①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；反之亦成立.

②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.反之亦成立.

2.几种距离

(1)两点间的距离

平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式：

特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离 (2)点到直线的距离

点P0(xo,y0)到直线AxByC0的距离： (3)两条平行线间的距离

两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离:

注:❶求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

❷求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。

二、典型例题

题型一.两条直线的交点问题

例1.求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．

x－2y＋4＝0，[解析] 解法一

由方程组x＋y－2＝0

x＝0，得y＝2，

即P(0,2)．

44∵l⊥l3∴kl＝－，∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0. 33解法二

∵直线l过直线l1和l2的交点，

∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3垂直，

∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，

∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 变式训练：课本P109习题3.3 A组 第1、5题 B组

第1题

题型二.距离问题

[例2] 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x－2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的75距离是. 10(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：

1①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离2之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

[解析] (1)∵l1：4x－2y＋2a＝0(a>0)，l2：4x－2y－1＝0，

|2a＋1|∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝，

25|2a＋1|75由已知，可得＝.又a>0，解得a＝3. 1025

(2)设点P的坐标为(x，y)，由条件①，可知x>0，y>0.由条件②和③，可得

|2x－y＋3||4x－2y－1|＝，545|2x－y＋3||x＋y－1|5·＝2·.524|2x－y＋3|＝|4x－2y－1|，化简得|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，

于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，也就是4(x＋y－1)＝4x－2y－1，

1或4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1，解得y＝，或8x＋2y－5＝0. 21当y＝时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，

22解得x＝－3<0或x＝－<0，均舍去．

38x＋2y－5＝0，由|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，

8x＋2y－5＝0，化简得x－2y＋4＝0，

8x＋2y－5＝0，或3x＝－2.

1x＝，9解得37y＝18，

2x＝－<0，3或31y＝6，

(舍去)．

137即存在满足题设条件的点P，其坐标为，. 918

变式训练：课本P109习题3.3 A组 第6、7、8、9、10题 B组 第2、3、4、5题

题型三.对称问题

[例3] 已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；

(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程．

解析：(1)设A′(x，y)，

y＋22x＋1·3＝－1，由已知得x－1y－22×－3×＋1＝0，22

33x＝－，13解得4y＝13.

334故A′－，. 1313

8x＋2y－5＝0，由|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，

8x＋2y－5＝0，化简得x－2y＋4＝0，

8x＋2y－5＝0，或3x＝－2.

1x＝，9解得37y＝18，

2x＝－<0，3或31y＝6，

(舍去)．

137即存在满足题设条件的点P，其坐标为，. 918

(3)解法一

在l1：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)．

则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l3上．

易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l3的方程为2x－3y－9＝0. 解法二

∵l1∥l3，

∴可设l3的方程为2x－3y＋c＝0(c≠1)．

|－2＋6＋c||－2＋6＋1|∵点A到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得＝，解得c＝－9，

22222＋32＋3∴l3的方程为2x－3y－9＝0. 解法三

设P(x，y)是l3上任一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．

∵P′在直线l1上，

∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0. 整理得2x－3y－9＝0.

变式训练：光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．

题型四：直线综合问题的解题策略

【例4】

设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.证明l1与l2相交；

【思路导析】

两直线位置关系的判断，可以考虑用反证法；

三、针对性训练

1.原点到直线x2y50的距离为（ ）

A.1 B.3 C.2 D.5

2.已知直线l1:x＋y＋1＝0，l2:x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　 　)

A.1 B.3 C.2 D.5

3.已知点A(3,4),B(6,3)到直线l:axy10的距离相等，则实数a的值

等于（ ）

717171 B. C.或

D.或

9393934．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(

) A．3x＋4y＋5＝0

B．3x＋4y－5＝0 C．－3x＋4y－5＝0

D．－3x＋4y＋5＝0 5.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．

A.四、总结提升

1. 应用距离公式时应注意

(1)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式；

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相同． 2.考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明．若用直接法很难使问题解决，而利用反证法可使问题得到巧妙地化解，通过此题可以进一步体会反证法“正难则反”的妙用．证明点在曲线上，本题给出了两种证法，证法一思路简单，但运算复杂，证法二构思巧妙，但思维难度大，由此也可以看出解题技巧的重要性．

五、课后作业

习题3.3 B组第9题