习题4.3主要内容及教案内容

人教A版·高中数学·必修二

《习题4.3》-----教学设计

宁夏吴忠市红寺堡区第一中学 马彩霞

一、学习目标

1.

通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置；

2.会在“右手直角坐标系下解决正（长）方体中两点间距离（棱长）问题；

3.让学生在解决问题过程中，体会空间直角坐标系的魅力---可以将立体几何问题代数化；

4.进一步培养学生数学核心素养能力“直观想象”。

二、学习重点、难点

教学重点：

1.写出特殊几何体中点的坐标；

2.会求特殊几何体中两点间的距离或棱长。

教学难点：

将立体几何问题代数化，利用二次函数的性质求两点间距离最小值问题。

三、教具

相关几何体制作软件、录屏软件、PPT等。

四、教学方法

引导探究式、演示并讲解

五、教学过程

（一）引入

在生产、生活实践中，往往需要研究空间图形，如两点间的距离问题，本节课我们研究学习如何求简单空间几何体中两点间距离（或棱长）问题。

（二）习题探究学习与讲解

A组：1.点M（x,y,z）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点M的坐标。

（1）与点M关于X轴对称的点；

（2）与点M关于Y轴对称的点；

（3）与点M关于Z轴对称的点；

（4）与点M关于原点对称的点。

学习意图：进一步加深空间任意点关于“轴”及“原点”对称点的特征，让学生熟练掌握空间直角坐标系中点位置关系，培养学生空间想象力。

学习策略：首先，引导学生在坐标系中任取点M（x,y,z），并在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x,y,z的点P、Q、R；其次，给学生一定的时间让自主合作探究完成四个问题；最后，老师请个别学生进行订正讲解，同时老师补充讲解。

Z

答案：（1）M1(-x,-y,z) （2）M1(x,-y,-z) （3）M1(-x,-y,z) （4）M1(-x,-y,-z)

（Mx，y,z）

Q

P

X

R

O

Y

A组：3.如图，正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，求这个几何体的棱长。

学习意图：①在空间直角坐标系中

熟练写出简单几何体顶点的坐标；

②进一步巩固学习在空间直角坐标系，

两点间距离公式的应用，在已知两点

坐标的前提下，求简单几何体两点间

距离（或棱长）；

z

DE

CBM

AP

Q

N

O

A

F

C

y

B

x

③通过插入多媒体课件----旋转几何体，让学生从不同视角观察正八面体的特征；

④培养学生空间想象力。

学习策略：首先插入多媒体课件----旋转几何体，

让学生从不同视角观察几何体特征；其次，要求学生自主合作探究，写出六个顶点坐标；最后，让一位演示解题过程，老师用手机拍摄

视频并展示。

解题过程：

解：E(aaaaaa,,a),F(,,0),M(,a,)222222

aaaaaaN(0,,),P(,0,),Q(a,,)222222

因几何体是正八面体，所有棱长相等，棱长为：

|PQ|

(aaaaa)2(0)2()222222a2

延伸学习：1.通过学习本题，同学们知道了正八面体与正方体的特殊关系！在此基础上引导学生研究学习正四面体与相关正方体的关系；

2.并通过课件展示，让学生观察，培养空间想象力。

B组：3.如图,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz.点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。

（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；

（2）当点Q为棱CD的中点，P在对角线AB上运动时；探究|PQ|的最小值；

（3）当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值。

试题解析：本题属于一道能力提升题，也是本节课的教学难点。三个问题的难易程度按分层递进式设计，即遵循学生的认知水平，又重视基础知识的巩固，更注重学习能力的提升，让不同层次的学生得到不同发展。

学习意图：1.有些点的坐标未知，要求学生学会设变量。若遇到多个未知量时，根据题意寻找多个未知量间的关系，尽量少设未知量；2.将空间几何问题代数化，转化为二次函数求最值问题。

解答过程：

（1）不妨设正方体棱长为a，则B(0,0,a),A(a,a,0),P(,,)

aaa2a2a222设Q（0，a,z）,|PQ|(0)(a)(z)(z)

22222|PQ|取最小值当z时，a22a.

2aaa222(2)解法一：本题可以这样分析

第一步，有一线段AB及线段AB外一点Q；

第二步，点Q到线段AB的最短距离如何找？

第三步，很容易发现，过点Q作线段AB的垂线短为最短距离，即|PQ|的最小值；

第四步，又在本题中，Q为正方体棱CD中点，所以|QB|=|QA|，

当QP┴AB时，P为线段AB中点；

第五步，由（1）知|PQ|最小值还是2a. 2解法二：设P（n,n,t），连接AO，作PE┴AO于E。

由ΔAPE与ΔABO相似得，

ta2a2ntan2a

a即P（n，n，an）,而Q（0，a,）2

所以，|PQ|a(0-n)(an)(an)2222

a2a23(n)22 所以当n

a2a时，|PQ|取得最小值.22

(2)法二可直接设P（n，n，an）（3）解：由

再设Q（0，a，t）,则

|PQ|n2(na)2(ant)2

a2a2(ant)2(n)222

a2a可看出，当nt时，|PQ|取最小值.22

六、学习小结

同学们，通过今天的学习，我们发现空间直角坐标系解决立体几何的方便之处！

数缺形时少直觉，形缺数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非。

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华罗庚