习题1.4教学设计及教案分析

全称命题与特称命题在含参函数最值问题中的应用

杨启栋

浙江省奉化中学

根据2014级课程要求，本节内容在高考中单独不做要求。但是本人认为本节内容对于函数性质的理解具有较大作用。例如：函数最值即包含任意性又包含存在性。而最值问题又是高考中的热点（例如2017年浙江省高考17题）。因此如何借助全称命题与存在命题对最值问题进行翻译从而简化题目将是本节课的重点。

【教学内容分析】

学习目标：1、理解全称量词、全称命题、存在量词、特称命题

2、能用数学符号语言将这些文字语言进行转化

教学重点：1、能利用两种命题翻译最值问题；

2、代数式的变形；

3、掌握函数结构，进行合理变形

教学难点：1、利用两种命题翻译形式较为复杂的函数

2、代数结构的变形及解决形式复杂的不等式或等式问题

【学情分析】

参加本次活动为本人所教高二学生，目前已在进行高考一轮函数复习。在复习过程中本人发现，学生对于函数最值问题，尤其是一类含参函数最值问题中显得极其困难。究其原因在于如何对参量范围讨论，从而研究不同情况下的函数单调性显得较为困难。因此本人在复习过程中引入全称命题与特称命题对问题进行简化。利用参变分离构造新函数进行研究

【教学目标】

掌握利用两种命题对含参函数最值问题进行简化；

掌握通过函数变形研究不同类型函数的含参问题。

【课堂设计】

【例题引入，探寻方法】

例：f(x)x22ax1,对x1,2,f(x)0恒成立，求a的取值范围；

思路1：研究f(x)在1,2上的最小值g(a),g(a)0成立

对称轴x0a

①a1时，f(x)在1,2，g(a)f(x)minf(1)22a

②1a2时，f(x)在（1，a）,(a,2)g(a)f(x)minf(a)a21

③a2时，f(x)在1,2，g(a)f(x)minf(2)54a

22a, a1g(a)a21,

1a2 5-4a, a2综上：a1

1,2上的全称命题，我们可思路2：f(x)0恒成立，此为通过变形构造一个不含参新函数

解：x22ax10a令：g(x)11(x)，对任意xR恒成立

2x11(x)，g(x)在1,2，ming(1)1，a12x

优点：运算简单

缺点：需进行代数变形

【变式生成，观察结构】

变式1：f(x)x22ax1,x01,2,f(x0)0成立，求a的取值范围；

仿照例题可得，利用参变分离化简原式较为简单

x22ax10a令：g(x)11(x)，x0使得原式成立2x

115(x)，g(x)在1,2，ming(1)1，1a2x4

我们发现等式与不等式均能进行参变分离，进行参变分离需要等式与不等式！

【再探变式，简化方法】

变式2：f(x)x22ax1,当x1,2,f(x)的最小值为0，求a的值；

思路1：研究f(x)在1,2上的最小值g(a),g(a)0成立

对称轴x0a

①a1时，f(x)在1,2，g(a)f(x)minf(1)22a

②1a2时，f(x)在（1，a）,(a,2)g(a)f(x)minf(a)a21

③a2时，f(x)在1,2，g(a)f(x)minf(2)54a

22a, a1g(a)a21,

1a2 5-4a, a2综上：a1

思路2：能否利用参变分离继续讨论？

问题1：能否用全称量词或存在量词描述最小值为0

x1,2,f(x)0恒成立，x01,2,f(x)0有解

问题2：如何参变分离？

11a(x)，x1,2恒成立a1x2ax10，恒成立2xa1211x2ax10，有解a(x)，x1,2有解a12x

2优点：运算简单，且只需研究一个函数即可

缺点：需用全称量词与特称量词进行变形

【总结概括】

设函数yf(x)的定义域为I，如果实数M满足：（）对于任意xI，都有f(x)M1M为最大值(2)存在x0I,使得f(x0)M

（）对于任意xI，都有f(x)M1M为最小值(2)存在x0I,使得f(x0)M

因此我们要套探究的题型：一类含参函数的最值问题

【问题细究，变式再现】

回忆高中学习函数模型

基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数

复合函数

3、分段函数

4、绝对值函数

2x2a变式3：f(x),当x(1,),f(x)的最小值为6，求a的值；x1

2x222a2a思路1：f(x)2(x1),不容易继续研究x1x1

思路2：能否利用上题结论进行类似研究？

2x2a326，在1，恒成立a2x6x6，当x1恒成立ax12a32322xa6，在1，a2x26x6，当x1有解a有解2x1

变式4：f(x)9-x2a3x2x22的最小值为0，求a的值；

解：t3x2，t3,t0,1, g(t)t2at2，t0,1最小值为0

22tat20,t0,1恒成立，at恒成立a2t，综上：a222tat20,t0,1有解，at有解a2t

4变式5：（2017年浙江高考17）已知aR，函数在区间f(x)xaa在区间[1，4]上的最大值为5，x

则a的取值值围___________．

4xaa5,x1,4恒成立x解：x4aa5,x1,4有解x

taa5,t4,5恒成立ta5-a,t4,5恒成立

4tx,t4,5,x

①a5,恒不成立

②a5,代入原式t50只有t5成立，不恒成立

③a5,代入原式ta5aa5ta5a右式恒成立，左式只需2a5t恒成立a92

taa5,t4,5有解

9ta5ata5a或taa5有解即可。由题意得a符合题意2

综上：a92