实习作业教学实录与评析

球的“内切”、“外切”的解题技巧

【方法技巧】

类型一 球的内切问题

使用情景：有关球的内切问题

解题模板：第一步 首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；

第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系

第三步 得出结论. 类型二 球的外切问题

使用情景：有关球的外切问题

解题模板：第一步 首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；

第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系

第三步 得出结论.

【应用举例】

【例题1】在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为3的圆柱．

（1）求：圆柱表面积的最大值；

（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．

【答案】（1）（（2）S213）；【解析】

试题分析：（1）我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案；（2）求出圆柱的外接球半径，即可求该圆柱外接球的表面积和体积．

试题解析：（1）当圆柱内接与圆锥时，圆柱的表面积最大．设此时，圆柱的底面R半径为r，高为h′．圆锥的高h＝4222＝23，又∵h′＝3，∴h′＝7，V776．

1r233h．∴＝，∴r＝1．∴S2223表面积＝2S底＋S侧＝2πr＋2πrh′ ＝2π＋2π×3＝2（1＋3）π．

2（2）设圆柱的外接球半径为R，R777，S7， V 62考点：1、球内接多面体；2、球的表面积和体积．

【难度】较易

【例题2】求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．

【答案】V球∶V柱∶V锥4∶6∶9．

【解析】试题分析：设球的半径为R，则外切圆柱的半径为R，高为2R；外切等边圆锥底面半径为3R,高为3R，

所以V球43R ,v柱2R3, V锥3R3

3V球：V柱：V锥4:6:9

考点：本题考查空间几何体的体积。

点评：本题的关键是由球的半径求出外切圆柱、外切等边圆锥的半径和高。考查了空间想象力。

首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．

【难度】一般

【例题3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

【答案】226．

3【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高h22(23226．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌)3326．

3面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为2【点评】关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．

考点：空间几何体的球体积和表面积. 【较易】

【例题4】正三棱锥PABC的侧棱长为l，两侧棱的夹角为2，求它的外接球的体积．

3l334sin2【答案】．

2(34sin2)【解析】解：如图，

作PD∵ OD底面ABC于D，则D为正△ABC的中心。

底面ABC，

∴P、O、D三点共线。

∵PA=PB=PC=l，∠ APB=2a ∴AB=2l22l2cos2a

=2lsina ∴AD=323AB=lsina 33设∠APD=β，作OE⊥PA于E，在Rt△APD中，

∵sinβ=AD23=sina PA3又OP=OA=R，

∴PE=11PA=l 22在Rt△POE中，

1PE2∵R=PO==

cos41sin2a3l3243l34sin2∴V球．

232(34sin)421sin33

【点评】解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．求球半径，是解本题的关键．

【难度】一般

【例题5】如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：

（1）求圆柱的体积与球的体积之比；

（2）求圆柱的表面积与球的表面积之比．

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）本题关键是找出圆柱和球体中高和半径的数量关系：

即：h=2R,r=R可求出比．

（2）结合（1）中的数量关系，通过圆柱和球的表面积公式可得．

试题解析：

解：（1）设圆柱的高为h,底面半径为r,球的半径为R，由已知得h=2R,r=R.

QV圆柱V圆柱2R3343rh2R,V球R.43V球R323

23（2）QS圆柱S侧2S底2rh2r6r,S球4r.考点：球与圆柱的内切及体积和表面积的算法

【难度】一般

222S圆柱S球6r23

24r2【例题6】一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为2，二面角DACB的余弦值为则下列论断正确的是（ ）

A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3 B．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4 C．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为33 D．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上

【答案】A 【解析】

1，3

试题分析：如图，由题意，知ACABADBCCD2，cosDEB1，E为AC的中点，3EBED16222，所以BD2BE2BE2，所以BD2．因为ABCD为正四面体，所以32有外接球，且外接球的半径为323，所以球的表面积为S4()3，故选A．

22

考点：1、球的表面积；2、二面角．

【方法点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．

【难度】较易

【实战演练】

1.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为14r2r2rr22r2r=5r24r2=16 + 20，解得r=2，故选B.

2考点定位：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则

组合体中的各个量. 【难度】较易

2.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）

A．36π B.64π C.144π D.256π

【答案】C 【解析】

试题分析：球的球心为正四棱柱的中心，正四棱柱高为4，体积为16，所以底面边长为2，所以体对角线为22224226，所以2R26

R6S4R224，故选C. 【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．

COAB

【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题．

【难度】较易

3.矩形ABCD中，AB= 4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）

A．125125125125 D． B． C．

61239【答案】A 【解析】

试题分析：因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．

由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V=球45125()2，故选A. 326考点：本试题主要考查了学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题

点评：解决该试题的关键是理解对折后的图形中球心的位置，同时要利用直二面角得到各边长，分析一个三角形的外接圆的圆心是突破口，进而得到。

【难度】较易

4.如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是

（A）2 （B） （C） （D） 4324【答案】B 【解析】如图，EG1sin42FG,EGF

22∴EFEG2FG21OEOF

3，∴点E、F在该球面上的球面距离为∴EOF313

故选择B．

【难度】较易

5.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A 【解析】

试题分析：由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．

解：设球的半径为R，圆M的半径r，

由图可知，R=R+r，

∴R=r，∴S球=4πR，

截面圆M的面积为：πr=πR，

22222222则所得截面的面积与球的表面积的比为：故选A．

．

考点：球的体积和表面积．

【难度】较易

6.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）

A．43263262626 B．2+ C．4+ D．

3333【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可得，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，于是把钢球的球心连接，则可得到一个棱长为2的小正四面体，该小正四面体的高为26，且由正四面体的性质可知，正四面体的中心到3底面的距离是高的1，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心是重合的，所以小正四面体的中心到底4面的距离是26166，正四面体的中心到底面的距离是1，所以可知正四面体的高的最小值为6346626，故选择C 14463考点：几何体的体积

【难度】一般

7.长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点在同一个球面上，则该球的表面积 ．

【答案】9

【解析】

试题分析：本题由于画出立体图比较困难就需要有很强的立体想象空间，由长方体的长、宽、高分别为2，2，1，可以求出长方体对角线长为3；再根据长方体和圆的对称性可以判断球心长方体的内部，进而可知3球的半径R3，则有该球的表面积S表4R249．

2考点：1、勾股定理；2、球的表面积公式．

【方法点晴】这道题容易进入一个误区，就是球心在长方体的内部还是外部，这是可以判定的；可先先假设在外部，根据对称性和勾股定理可以得出矛盾，最后确定球心在长方体的内部；之后还要根据对称性以及勾股定理通过计算求解球的半径，最后再根据球的表面积公式S表4R求解即可．

【难度】较易

8.已知四面体ABCD满足ABCD积是 . 226,ACADBCBD2，则四面体ABCD的外接球的表面

【答案】7

【解析】

试题分析：在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连结AE,BE，ACADBCBD2，则10，取AB的中点为F,AECD,BECD，在RtAED中CD6,∴AE10，同理BE22由AEBE，得EFAB，在RtEFA中，AB6，EF1,取EF的中点为O，则OF1,在27RtOFA中OA7，OAOBOCOD,∴该四面体的外接球的半径是，其外接球的表面积是227；故填7．

考点：1.球的表面积；2.多面体和球的组合．

【难度】较易

9.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA2,AB2,AC1,BAC600，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．

【答案】8

【解析】

试题分析：因为AB2,AC1,BAC600

222利用余弦定理得BC3，所以ACBCAB,所以ACBC

又因为PA平面ABC

所以三棱锥PABC是长为1，宽为3，高为2的长方体的一部分（如图所示）

所以三棱锥PABC外接球的半径为121(3)2222

2所以其外接球的表面积为4(2)28

故答案为8

P23A1CB

考点：空间几何体的外接球．

【方法点睛】解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．

【难度】较易

10.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积等于 .

【答案】8

【解析】

试题分析：该几何体是三棱锥ABCD，如图，且AB底面BCD，BCCD，BCCD，由此可得DC平面ABC，CAC即D，所以AD是外接球直径，AD222222，S4π(2)28π．

ABDC

考点：三视图，三棱锥与外接球，球的表面积．

【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，明确球心位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图．

【难度】较易

11.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 .

【答案】29

【解析】

试题分析：由三视图可知：该三棱锥为从边长为2,3,4的长方体中截去四个角后剩余的三棱锥.设三棱锥的外接球半径为R，则2R22324229,R29,所以外接球的表面积为S4R229.

2

考点：三视图与球的表面积. 【方法点晴】本题考查了三视图、常见几何体与球的组合体及球的表面积问题，考查学生的空间想象能力，综合性较强.解答这类题目的关键是根据三视图还原出几何体的几何特征，本题的关键是还原后再把它补成长方体从而得到三棱锥与其外接球之间的关系，特别是确定球心的位置，从而求出球的半径，这是多面体与球的组合体中常用的技巧. 【难度】较易

12.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，则球的体积是 ．

【答案】32

3【解析】

试题分析：设球的半径为2r，如图

22222O为球心， E为BC的中点，D是三角形ABC的中心，那么AOODADOD(AE)，23324r2r2(32()2()2，解得r1球的半径是2 2332所以球的体积为故答案为．

3考点：球的半径以及球的体积的求法

【难度】较易

13.直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，BAC________．

【答案】2，AA14，则该三棱柱的外接球的体积为3642

31AA12，又2【解析】

试题分析：设O是外接球球心，O1是ΔABC外接圆圆心，则OO1底面ABC，OO1BC2ABsinBC23π34，即O1B2，所以2223，所以2OB2πsinBACsin32344642πOBOO12O1B222，所以V球πOB3π(22)3．

333

A1C1B1OACBO1

考点：棱柱与外接球，球的体积．

【名师点睛】几个与球有关的切、接常用结论

（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，

①正方体的外接球，则2R＝3a；

②正方体的内切球，则2R＝a；

③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a．

（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝abc．

（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，

【难度】较易

14.若三棱锥PABC的最长的棱PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积

是 ．

【答案】2224

3【解析】

试题分析：若三棱锥PABC的最长的棱为PA2，且各面均为直角三角形，将此三棱锥的外接球的直径为2，所以此三棱锥的外接球的半径为1，所以此三棱锥的外接球的体积为V44，故应填．

33考点：1、球的体积和表面积．

【思路点睛】本题主要考查了球的体积和表面积，涉及空间直线、平面的位置关系，渗透着转化的数学思想，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据已知条件可得三棱锥的外接球的直径，进而求出其球的半径，然后代入球的体积公式，即可得出所求的答案即可．其解题的关键是运用数形结合并结合已知判断出球的半径．

【难度】较易

15.若三棱锥P-ABC的最长的棱PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是

43【答案】

【解析】

4241=33

试题分析：三棱锥的外接球的直径为PA，因此体积是P A 考点：球的体积

【思路点睛】

1．解答本题的关键是确定球心，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定．

2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．如长方体的体对角线为外接球的直径．

【难度】较易

16.已知正四棱锥O－ABCD的体积为54，底面边长为32，则正四棱锥O－ABCD的外接球的表面积为 ．

【答案】100π

【解析】

2试题分析：SABCD(32)18，V11SABCDh18h54，h9，如图，正四棱锥PABCD中33PM是棱锥的高，由已知AM3，PMh9，外接球球心O一定在高PM上，设外接球半径为r，22222则3(9R)R，解得R5，所以S表面积4R45100．

PODMAB

考点：正棱锥与外接球，球的表面积．

【名师点睛】球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为正棱锥的外接球，此时正棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解．二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥各个面相切，球心到各个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为球球心到棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积．

球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解．例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置．

【难度】较易

C17．已知正四棱锥O－ABCD的体积为________．

【答案】24π

【解析】

32，底面边长为23，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为3232，在直试题分析：如图，正四棱锥OABCD的体积V1sh1（33）OHOH3322326角三角形OAH中，OAOH2AH2

，所以表面积为S4r224；

62222

考点：球的表面积和体积

【名师点睛】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．解题时先直接利

用锥体的体积公式即可求得正四棱锥OABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥OABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．

【难度】较易

18．已知在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABACPA2，且在ABC中，BAC1200，则三棱锥PABC的外接球的体积为________．

【答案】205

3【解析】

试题分析：设平面ABC截球所得截面圆半径为r，则2r23所以r2．由PA2且PA平4，sin12022面ABC知球心到平面ABC的距离为1，所以球的半径为R125，所以V球43205．

R33考点：1、三棱锥的外接球；2、球的体积．

【方法点睛】对于球的体积、球中截面圆的面积问题，常常通过构造直线三角形，运用勾股定理得到球的半径与截面圆半径之间的关系，从而求得球的半径和截面圆的半径，进而求球的体积、球中截面圆的面积等．

【难度】较易

19.直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，BAC________．

【答案】2，AA14，则该三棱柱的外接球的体积为3642

31AA12，又2【解析】

试题分析：设O是外接球球心，O1是ΔABC外接圆圆心，则OO1底面ABC，OO1BC2ABsinBC23π34，即O1B2，所以2223，所以2OBsinBACsin2π32344642πOBOO12O1B222，所以V球πOB3π(22)3．

333

A1C1B1OACBO1

考点：棱柱与外接球，球的体积．

【名师点睛】几个与球有关的切、接常用结论

（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，

①正方体的外接球，则2R＝3a；

②正方体的内切球，则2R＝a；

③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a．

（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝abc．

（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，

【难度】较易

20.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为2a. 222

（1）求它的外接球的体积；

（2）求它的内切球的表面积. 【答案】（1）V球=41123863663a=R=a（2）V棱锥=S底h=a×a

3332726【解析】（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为△SAC的外心，

即△SAC的外接圆半径就是球的半径. ∵AB=BC=a，∴AC=2a. ∵SA=SC=AC=2a，∴△SAC为正三角形. 由正弦定理得2R=AC2a26a，

sinASCsin603

因此，R=438636a，V球=R=a. 3327（2）设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E，

作SF⊥BC于F，连接EF，

则有SF=SB2BF2

=(2a)2()21212a27a. 2772a=a. 242S△SBC=BC·SF=a×S棱锥全=4S△SBC+S底=（7+1）a. 又SE=SF2EF2=(∴V棱锥=S底h=a×31313272aa)()222=6a，

2663a=a. 26426a, 12∴r=3V棱锥S棱锥全263a62(71)aS球=4r=247a. 3【难度】一般

21.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2.

（1）求三棱锥P—ACD的外接球的表面积；

（2）若M为PB的中点，问在AD上是否存在一点E，使AM∥平面PCE？若存在，求说明理由. 1【答案】（1）5π；（2）在AD上存在点E，使AM∥平面BCE，. 3AE的值；若不存在，ED

【解析】

试题分析：（1）在△ACD中，AC＝2，CD＝2，AD＝2，

222利用AC＋CD＝AD证得AC⊥CD，根据PA⊥平面ABCD得到PA⊥CD，从而有CD⊥平面PAC， CD⊥PC；

根据△PAD、△PCD均是以PD为斜边的直角三角形，

取PD的中点O，则OA＝OP＝OC＝OD＝5，计算即得所求. 2（2）根据观察分析，取PC的中点N，连接MN，EN，得到MN1BC，又BC∥AE，得到MN∥AE；

211AE1BC＝AD，＝. 24ED3由AM∥平面PCE，得 AM∥EN，四边形AMNE为平行四边形，AE＝MN＝考点：1.球的表面积；2.平行关系、垂直关系. 【难度】较易