习题2.3教学实录

直线与平面垂直教学设计

一、学习目标

1．熟记直线与平面垂直的判定定理与性质定理，并能用数学符号表示；

2．会运用判定定理与性质定理证明有关线面垂直的立几问题。

二、基础知识回顾与梳理

1.定义：如果一条直线垂直于平面内的 ，则这条直线垂直与这个平面。

由定义可得：如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的 。

符号表示： m⊥ α， n ⊂ α ⇒ 。

2.判定定理：如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

①图形表示： ②符号表示：

α

3. 性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 。

①图形表示： ②符号表示：

α

⇒

⇒ a∥b

三、诊断练习

题1．直线a不垂直于平面，则内与a垂直的直线有 条．

题2．若a,b,c表示直线，表示平面，下列条件中，能使a的是 ．（填序号）

①

ab,ac,b,c； ②ab,b//；

②

a//b,b； ④abA,b,ab．

题3．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )．

A.1 B.2 C.3 D.4

1

四、范例导析

例题 1．（2015浙江改编）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为A1B1的中点

.求证: AB

平面OCC1；(若改证AB

呢？)

变式练习：

（2017年1月广东省学业水平考第21题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PAAB,PAADACCD,ABC60o, PA=AB=BC=2. E是PC的中点. （1）证明: PACD；（2）求三棱锥P-ABC的体积；

（3）证明: AE平面PCD.

2

五、要点归纳：

1、要证明线面垂直关键是找线线垂直，而证明线线垂直的途径主要有：

(1)线面垂直的定义；(2)等腰三角形三线合一；(3)菱形对角线互相垂直；

(4)三角形勾股定理；(5)直径所对的圆周角是直角；（6）全等三角形或相似三角形性质。

2、线面垂直的判定定理和性质定理。

六、课后巩固：

1．（2014江苏）如图在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点，已知PAAC,PA6,BC8,DF5.

求证:（1）直线PA//平面DEF；（2）DE平面ABC.

2．如图，在直三棱柱于点．

（1）求证：

3

中，，，为中点，与交平面；（2）求证：平面；

3．(2017全国3)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

*（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.．

4．（2016全国1）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G. （Ⅰ）证明：G是AB的中点；(提示：等腰三角形底边中线与高重合) *（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

P

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