习题3.1优质课教案推荐

2018年春期高一数学三案合一

必修2第三章直线与方程

编制人：周涛

审核人：高一数学备课组

习题 3.1 【教学目标】深刻体会直线的倾斜角与斜率的内涵及其关系；理解直线的平行、垂直与斜率的关系；能较熟练的运用相关知识解决问题；培养学生的分类讨论、数形结合等数学思想方法. 【教学重点】斜率的运用. 【教学难点】斜率的存在情况的讨论.

【教学过程】

一、知识体系

1．当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．则直线l的倾斜角的范围是0180．

2．倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即ktan．

如果知道直线上两点P(x1，y1)，P(x2，y2)，则有斜率公式ky2y1．特别地是，当x1x2，x2x1y1y2时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当x1x2，y1y2时，直线与y轴垂直，斜率k=0．

注意：直线的倾斜角=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合．

当=0°时，斜率k=0；

当090时，斜率k＞0，随着的增大，斜率k也增大；

当90180时，斜率k＜0，随着的增大，斜率k也增大．

3．对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：

（1）l1//l2k1k2；

（2）l1l2k1k21．

4．特例：两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴．

二、典例剖析

例1 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l的倾斜角为________．

答案

60°或120°解析

有两种情况：

①如下图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，

. 即直线l的倾斜角为60°. ②如上图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°

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2018年春期高一数学三案合一

必修2第三章直线与方程

编制人：周涛

审核人：高一数学备课组

. 针对训练1 已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°解

①当点P在x轴上时，设点P(a,0)，

∵A(1,2)，∴k＝＝. 又∵直线PA的倾斜角为60°，

∴tan 60°＝∴点P的坐标为.解得a＝1－. . ②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，

同理可得b＝2－，∴点P的坐标为(0,2－)．

例2 直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．

答案

[0,2]

解析

如下图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝直线l的斜率的取值范围是[0,2]．

＝2.故

针对训练2 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求y的最大值和最小值．

x【解析】如下图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

由于的几何意义是直线OP的斜率，

且kOA＝2，kOB＝，

所以可求得的最大值为2，最小值为.

方法归纳 用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

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必修2第三章直线与方程

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例3 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．

kCD＝－1，

【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·且kAD＝kBC.所以，解得. 所以第四个顶点D的坐标为(2,3)．

方法归纳 判断图形的形状：1利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定. 2由几何图形的形状求参数一般是点的坐标时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形. 二、当堂训练

1.设m>0，斜率为m的直线上有两点(m,3)和(1，m)，则此直线的倾斜角为________．

m－3【解析】由斜率公式得k＝＝m，解得m＝±3. 1－m又m>0，所以m＝3. 于是直线的斜率k＝3，即tanα＝3. 又0°≤α<180°，所以α＝60°，即此直线的倾斜角为60°.

2.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．

【解析】由斜率公式可得

kAB＝6－－456－66－－4＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5. 6－－246－00－－2由kBC＝0知直线BC∥x轴，

∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．

设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，

5由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，即k1·＝－1，k2·5＝－1，

441解得k1＝－，k2＝－.综上可知BC边上的高所在直线的斜率不存在；AB边上的高所在直5541线的斜率为－；AC边上的高所在直线的斜率为－.

55五、课堂小结

教师引导学生以小组形式进行课堂小结，重点是对方法的归纳。并请小组代表作分析，教师最后作简单的总结。

【练习案】

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必修2第三章直线与方程

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1.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(

) A．平行

C．相交但不垂直

答案

D 解析

设l1、l2的斜率分别为k1、k2，由韦达定理知k1·k2＝－1，∴l1⊥l2. 2.已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为(

) A．(0，－6)

C．(0，－6)或(0,7)

答案

C 3.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

解

如下图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. B．(0,7) D．(－6,0)或(7,0) B．重合

D．垂直

(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，

又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，

. 所以α的取值范围是45°≤α≤135°4.已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．

解

因为A，B两点的纵坐标不相等，

所以AB与x轴不平行．

因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，所以－m≠3，即m≠－3. 当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1. 当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1，

则CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．

当AB与x轴不垂直时，由斜率公式，得kAB＝3m＋2－m2m＋1kCD＝＝. 3－－mm＋3因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，

即

2m＋12·＝－1，解得m＝1.综上，m的值为1或－1. －m＋1m＋34－22＝，

－2m－4－－m－3－m＋1

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