3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀公开课教案

第三章

直线与方程

3.1

直线的倾斜角与斜率

教学内容：3.1 倾斜角和斜率

教学目标

一、知识和技能目标

1.

了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念；

2. 理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 二、过程和方法目标

掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法，会实现直线方程的各种形式之间的互化. 三、情感、态度与价值观目标

发展观察、探索能力，运用数学语言表达能力；进一步理解数形结合思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教学重点

直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式. 教学难点

斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式. 教学过程

1．创设情景，揭示课题

（1）简述本章研究什么？怎样研究？

y（2）问题探究：我们知道，

经过两点有且只有一条直线. 那么，

在平bc面直角坐标系中，经过一点P的直线l的位置由哪些条件确定？

如图，

过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…，易见这些直线的共同特点是：都经过同一点P，那么，它们的不同点是什么？

P学生交流讨论，发表见解：它们的‘倾斜程度’不同.

教师提出：怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?

引入直线的倾斜角的概念. 2．直线的倾斜角的概念

当直线l与x轴相交时，

取x轴作为基准，

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与x轴平行或重合时，

规定= 0°. 观察下图直线l1，l2，l3的倾斜角是怎样的？由此回答直线的倾斜角的取值范围是什么?

0°≤＜180°. 当直线与x轴垂直时，

ax= 90°.

yCbax

教师强调：平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，

引入直线的倾斜角之后，

我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 思考1：如上图，

直线a∥b∥c，

那么它们的倾斜角相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角.二者缺一不可. 思考2：生活中的“倾斜程度”通常用什么量表示？

引导学生讨论交流，举例.如道路的坡度等，使学生理解生活中坡度的意义：

升高前进

坡度（比）=升高量/前进量

如果我们使用“倾斜角”这个概念，这里的“坡度”实际是“倾斜角的正切值”. 3．直线的斜率

（1）一条直线的倾斜角

（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母k表示，也就是k = tan.

当直线与x轴平行或重合时，

当直线与x轴垂直时，

=0°，

k = tan0°=0; = 90°，

k 不存在. 由此可知，

一条直线的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如，

=45°时，

k = tan45°= 1.

4．利用信息技术获得直线的倾斜角和直线的斜率的关系

观察上图直线的倾斜角和斜率之间的关系：由于知识的原因，学生不能通过正切值获得直线的倾斜角和斜率之间的关系，因此教学中通过信息技术演示操作（如《几何画板》）获得直线的倾斜角和斜率的关系.（如上图）可以清楚看到：

当090时，直线的斜率k是正数；

当90180时，直线的斜率k是负数. 思考3：两点确定一条直线，那么给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? yP2P1Ox

5．探究并推导直线斜率的两点式公式

可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况（如下图），

并引导学生通过作辅助线，共同完成斜率公式的推导. yyP2P2P1OQxP1QOx

yyP1P2P1QP2OQxOx

斜率公式:

ky2y1.x2x1

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°，

直线与x 轴垂直；

（2）k值的大小与P1、P2的顺序无关，

即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，

但分子与分母不能交换;

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; （4）

当

y1=y2时，

斜率k = 0，

直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合. 6．应用举例

例1 已知

A（3，2），B（-1，4），C（0，-1）求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

课堂练习

P.86

T1,2,3,4 例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线

l1,l2,l3及

l4．

7. 课后作业

P86练习：1，2，3，4；P89习题3.1A组：1，2，3，4，5.