1.2.3 空间几何体的直观图教案设计（一等奖）

第1讲

空间几何体的结构、三视图和直观图

【复习指导】

1．备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．

2．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．

相关知识

1．多面体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．

2．旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．

(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．

3．空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

(2)画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

一个规律

三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

两个概念

(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底

面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．

(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．

课前检测

1．(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是(

)．

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D．棱台各侧棱的延长线交于一点

答案

D 2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(

)．

A．圆柱

C．球体

B．圆锥

D．圆柱、圆锥、球体的组合体

解析

当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．

答案

C 3．(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(

)．

2πA．8－

3C．8－2π

πB．8－

32πD.

3解析

圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝22×212－×π×12×2＝8－π，正确选项为A. 33答案

A 4．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

(

)．

解析

所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有选项B符合．

答案

B

5．(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为________m3. 解析

由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13

π×3＝6＋π(m3)．

答案

6＋π

教学过程

问题与例题

问题一

空间几何体的结构特征

【例1】►(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是(

)．

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

[审题视点] 可借助几何图形进行判断．

解析

如图

，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．选B. 答案

B 【设计意图】

三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．

【变式】

以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为(

)．

A．0

B．1

C．2

D．3 解析

命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．

答案

B 问题二

空间几何体的三视图

【例2】►(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(

)．

[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．

解析

由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D. 答案

D 【设计意图】

(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

【变式】

(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(

)．

解析

A中正视图，俯视图不对，故A错．B中正视图，侧视图不对，故B错．C中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D. 答案

D 问题三

空间几何体的直观图

【例3】►已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(

)．

A.32366a

B.a2

C.a2

D.a2

48816[审题视点] 画出正三角形△ABC的平面直观图△A′B′C′，求△A′B′C′的高即可．

解析

如图①②所示的实际图形和直观图．

13由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，

24在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，

则C′D′＝26O′C′＝a. 281166∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2. 22816答案

D

【设计意图】直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．

【变式】

如图，

矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(

)．

A．正方形

B．矩形

C．菱形

D．一般的平行四边形

解析

将直观图还原得▱OABC，则

∵O′D′＝2O′C′＝22 (cm)，

OD＝2O′D′＝42 (cm)，

C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，

OC＝CD2＋OD2＝22＋422＝6 (cm)，

OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，

故原图形为菱形．

答案

C 问题四 忽视几何体的放置对三视图的影响致错

【问题诊断】

空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点. 【防范措施】

应从多角度细心观察. 【例】►一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．

①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．

错因

忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.实录

①②⑤

正解

①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；

⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形．

答案

①②③⑤

【变式】

(2011·山东)右图是

长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图，俯视

图如右图．其中真命题的个数是(

)．

A．

C．1

3

B．2 D．0 [尝试解答]

如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相同，故选A.

答案

A 五、目标检测

1

下列结论不正确的是

（填序号）. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥

②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

答案

①②③

解析

①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起

构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥. ②错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所

得的几何体都不是圆锥.

③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.

④正确. 2.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是

cm2.

答案

(20+42)

3

一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积. 解

由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：

且AA′=BB′=CC′=4cm,正三角形ABC和正三角形

A′B′C′的高为23cm.

∴正三角形ABC的边长为

|AB|=23sin60=4. ∴该三棱柱的表面积为

S=3×4×4+2××42sin60°=48+83(cm2). 体积为V=S底·|AA′|=×42sin60°×4=163(cm3). 故这个三棱柱的表面积为（48+83）cm2,体积为163cm3. 4

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，

求图中三角形（正四面体的截面）的面积. 解

如图所示，△ABE为题中的三角形，

由已知得AB=2，BE=2×BF=BE=122312123=3, 22348,AF=AB2BF2=4=,∴△ABE的面积为

33312S=×BE×AF=×3×8=2.∴所求的三角形的面积为2. 3六、课堂小结

本节课你学了哪些内容？掌握了哪些题型？

七、配餐练习

A组题

1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是

. 答案

①②

2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是

.

①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱. 答案

④③②

3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

.

答案

②④

4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：

根据三视图回答此立体模型的体积为

. 答案

5 5.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为

. 答案

2

B组题

6.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要

个小立方块.最多只能用

个小立方块.

答案

9

14 7.如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是

.（把可能的图的序号都填上）

答案

②③

8.正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高. 解

如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形. ∵A1B1=4 cm，AB=16 cm，

∴O1E1=2 cm，OE=8 cm，

O1B1=22

cm，OB=82

cm，∴B1B2=O1O2+（OB-O1B1)2=361 cm2，

E1E2=O1O2+（OE-O1E1)2=325 cm2，∴B1B=19 cm，E1E=513cm. 答

这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为513cm. 9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径. 解

圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA1交OO1的延长线于S，

在Rt△SOA中，∠ASO=45°, 则∠SAO=45°，

∴SO=AO=3x，∴OO1=2x，又S轴截面=（6x+2x）·2x=392，∴12x=7. 故圆台的高OO1=14 (cm)，母线长l=2O1O=142

(cm)，

两底面半径分别为7 cm,21 cm. 10.正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？

解

如图所示，正棱锥S-ABCD中高OS=3，侧棱SA=SB=SC=SD=7，

在Rt△SOA中，

OA=SA2OS2=2，∴AC=4. ∴AB=BC=CD=DA=22.作OE⊥AB于E，则E为AB中点. 连接SE，则SE即为斜高，则SO⊥OE.在Rt△SOE中，

∵OE=12BC=2，SO=3，∴SE=5，即侧面上的斜高为5.