2.2.4 平面与平面平行的性质优质课一等奖教案

8.4

直线、平面平行的判定与性质.

1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言

平面外一条直线与此平面内的判定定理

一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

一条直线与一个平面平行，则过性质定理

这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平判定定理

行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

如果两个平行平面同时性质定理

和第三个平面相交，那么它们的交线平行

【知识拓展】

重要结论：

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 【思考辨析】

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

图形语言

符号语言

图形语言

符号语言

∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(

×

) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(

×

) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(

×

) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(

√

) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(

×

) (6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(

×

)

1．(教材改编)下列命题中正确的是(

) A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

答案

D 解析

A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．

2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

B 解析

当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．

3．(2016·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是(

) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案

D 解析

若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D. 4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案

平行

解析

连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，

则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，

所以BD1∥平面ACE. 5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

答案

平行四边形

题型一

直线与平面平行的判定与性质

命题点1

直线与平面平行的判定

1例1

如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，2CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面PAD. 命题点2

直线与平面平行的性质

例2

(2017·长沙调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．

题型二

平面与平面平行的判定与性质

例3

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

(2016·许昌三校第三次考试)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

题型三

平行关系的综合应用

例4

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

思维升华

利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．

如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

1．(2017·保定月考)有下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；

④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

A 2．(2016·滨州模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是(

) A．m∥β且l1∥α

C．m∥β且n∥l2

答案

D B．m∥β且n∥β

D．m∥l1且n∥l2

3．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(

) A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，n⊂α，则m∥n

C．若m∥α，n⊥α，则m∥n

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

答案

D 4．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(

)

A．垂直

C．平行

答案

C

5．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案

②③④

6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________．

答案

①或③

．

7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO. 答案

Q为CC1的中点

8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两B．相交不垂直

D．重合

直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号) 答案

①③

9.如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．

答案

(8,10) *10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．

答案

45

211.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：

(1)EG∥平面BB1D1D；

(2)平面BDF∥平面B1D1H. 12.如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.

(1)求证：PC⊥BC；

(2)AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；若不存在，请说明理由．