复习参考题特级教师教学实录

多面体与球的切、接问题

目标：理解空间几何体与球接、切问题，掌握这类问题的解题方法

重点：空间几何体与球外接问题

难点：求多面体外接球的半径

一、真题再现

1.[2016·全国卷Ⅱ4] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(

) 32A．12π

B.πC．8π

D．4π

3

[解析] 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π.

2.[2017·全国卷Ⅱ15] 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．

[解析] 长方体的体对角线长l＝32＋22＋12＝14，而长方体的外接球的直径恰为长方体的体对角线长，所以球O的直径2R＝l＝14，所以球O的表面积S＝4πR2＝14π.

3. [2017·全国卷Ⅰ16] 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

[解析] 如图，SC为球O的直径，O为球心，因为SA＝AC，所以AO⊥SC，同理SB＝BC，所以BO⊥SC，所以SC⊥平面ABO.又平面SCA⊥平面SCB，所以AO⊥BO.设球的半径为R，则AO＝BO＝SO＝CO＝R，

11113所以V三棱锥S-所以R＝3，所以ABC＝2×S△ABO×SO＝2×××AO×BO×SO＝R＝9，3323球O的表面积S＝4πR2＝36π.

4.

[2016·全国卷ⅢT11] 在封闭的直三棱柱ABC

-

A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(

) 9π32πA．4π

B.

C．6π

D.

23

[解析] 当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴8－r1＋6－r1＝10，解得r1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为339334r2，则2r2＝3，即r2＝.∴球的最大半径为，故V的最大值为π×2＝π. 2232

二、例题分析

【例题1】.(2015·陕西西安模拟，9)已知三棱锥D-ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝5，AC＝2，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为(

) A.6π

B．6π

C．5π

D．8π

解析1：构造长方体

解析2：

：由勾股定理，知DA⊥BC，AB⊥BC，

∴BC⊥平面DAB，∴BC⊥BD，

∴CD＝BD2＋BC2＝6. ∴AC2＋AD2＝2＋4＝6＝CD2，

∴DA⊥AC. 取CD的中点O，由直角三角形的性质知，

O到点A，B，C，D的距离均为其即为三棱锥的外接球球心．

26故三棱锥的外接球的表面积为4π·＝6π. 2【规律方法】：解决多面体的外接球问题，关键是确定球心位置，对于特殊的多面体可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．

【变式训练】1.已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的外接球的直径为________．

【解析】此三棱锥为正四面体，内接于棱长为1的正方体，因此该三棱锥的外接球的直径为正方体的体对角线长，即为3. 2. 2016届(附中月考（四）T7）如图，一个几何体的三视图

是三个全等的等腰三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为

A.16

B.12

C.

D.

6，

2

正视图侧视图俯视图解析：构成长方体

3.在四面体A-BCD中，AB=CD=的表面积

5,AD=BC=10,AC=BD=13,求该四面体外接球

分析：构成长方体

【例题2】已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，

∠ASC＝∠BSC＝30°，则三棱锥S-ABC的体积为(

) A. 3 3

B. 2 3

C. 3

D. 1 [解析] 如图，设球心为O，△ABC的外心为O′，根据球的性质知OO′⊥平面ABC，且4＋4－3∠SBC＝∠SAC＝90°，所以BC＝AC＝2.在△ABC中，根据余弦定理得cos∠ACB＝2×2×253934＝，所以sin∠ACB＝，根据正弦定理得＝2r(r为△ABC外接圆的半径)，所以r＝，883913816366313所以OO′＝4－＝＝.又在△ABC中，AB边上的高为4－＝，所以三棱13134213111312锥S-ABC的体积为××3××＝3. 32213

【规律方法】解决多面体的外接球问题，关键是确定球心位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．

【变式训练】

正三角形ABC的边长为

2 3，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为

3，此时四面体ABCD的外接球的体积为________．

[解析] 外接球球心O一定在与底面垂直且过底面正三角形中心的直线上，也在平面32ADO中AD的垂直平分线上，如图(OE⊥AD)．易得OE＝O′D＝3××＝1，

231133DE＝AD＝×2 3×＝，所以外接球的半径

222221323r＝1＋2＝，所以外接球的体积

24π1334π131313 13π为×＝××＝. 323426

【例题3】在三棱锥P-ABC中，侧棱PA＝PB＝2，PC＝6，则当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时，三棱锥P-ABC的内切球的表面积是(

) A. (32－8 6)π

B. (32－16 6)π

C. (40－8 6)π

D. (40－16 6)π

1【解析】三棱锥的侧面PAB的面积S△PAB＝×PA×PB×sin∠APB＝2sin∠APB，要使此面积最2大，则∠APB＝90°，同理可知，当PA，PB，PC两两垂直时，三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大．如图，设内切球的球心为O，则O到三棱锥的四个面的距离相等，均为球O的半径r.因为PA＝PB＝2，PC＝6，所以BC＝AC＝10，AB＝2 2，可得△ABC，△APC，114＋6＋2＋6)·△APB，△BPC的面积分别为4，6，2，6，所以VP-r＝×2×6，

(ABC＝×33解得r＝6－2，所以内切球的表面积S＝4πr2＝(40－16 6)π.

【规律方法】求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．

【变式】．已知三棱锥P-ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P-ABC的内切球半径为________．

1[解析] 易知△ABC是两腰长为5、底为2的等腰三角形，其面积为×2×212232（5）－＝，三棱锥P-ABC其余三个面的面积分别为，1，1，故三棱锥P-ABC222

1的表面积为4.设三棱锥P-ABC的内切球半径为r，则三棱锥P-ABC的体积为×4·r，又三3111111棱锥P-ABC的体积为××1×2×1＝，所以×4·r＝，所以r＝. 323334

三、小结

1．有关几何体的外接球、内切球的计算问题的常见思路

与球有关的组合体问题：一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图．

(1)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)．

(2)当球外接于长方体时，长方体的顶点均在球面上，长方体的体对角线长l等于球的直径长(2R)，此时要用到公式l2＝a2＋b2＋c2＝4R2(a，b，c为长方体的长、宽、高)．

(3)正四面体是棱长都相等的三棱锥，其外接球的半径为

，内切球的半径为

(a为正四面体的棱长)．

2.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题；球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图解题．此类问题在计算时，经常用到截面圆的有关性质：如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即

R2＝d2＋r2.

四、巩固练习

1.直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，

AA1＝12，求球O的表面积. 解

将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，

则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球. ∴体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R＝32＋42＋122＝13.

故S球＝4πR2＝169π.

2.正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积. 9解

如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(2)2＝r2，解得r＝，

493243π434则球O的体积V球＝πr＝π×4＝. 3316

3.如图8-16①，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A′(如图②)，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．

①

②

图8-16

【解析】由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF.将三棱锥D-A′EF的底面三角形A′EF扩展为边长为1的正方形，然后将三棱锥D-A′EF扩展为正四棱柱，则三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的体对角线的长就是外接球的直径，即为12＋12＋22＝6，∴球的半径为4.

已知三棱锥P-ABC中，PA=6，AB=AC=2的半径为

6. 23,BC=6，PA平面ABC,则此三棱锥的外接球

设ABC外接圆半径为r,由正弦定理

有2rBC6,r23

sinAsin120设球心到平面ABC的距离为d, 则R2d2r2(6d)2r2

222d3,Rdr91221,R21

解得

5.若三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为(

) 84 3416A. π

B. π

C. π

D. π

3333[解析] 如图，SA＝SB＝SC，可知点S在底面上的射影为△ABC的外心，由于底面是直角三角形，故其外心为斜边的中点O′.易知三棱锥外接球的球心在SO′上，设该三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则OO′＝3－R，在△OO′A中，

R2＝(3－R)2＋12，即R＝16π为4πR2＝.

32，所以外接球的表面积

3

6．已知三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝2，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________．

60S＝4πR2＝π.

11

7.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面三角形ABC满足

πBA＝BC＝6，∠ABC＝，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为(

) 2

A. 8π

B. 16π

C. 1632π

D. π

331【解析】因为△ABC是等腰直角三角形，所以其外接圆的半径r＝×12＝3.设2三棱锥外接球的半径是R，球心O到底面ABC的距离为d，如图，

111则S△ABC＝×6×6＝3，BD＝3，由题设知V＝S△ABC·h＝×3h＝h，

233所以最大体积3对应的高为PD＝hmax＝3，故R2＝d2＋3，

432π即R2＝(3－R)2＋3，解得R＝2，所以外接球的体积是πR3＝. 33

8.

已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋16 3，则球O的体积等于(

) A. 4 2π16 2π32 2π64 2π

B.

C.

D.

3333

【解析】由题意知，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．如图，设球O的半径为R，则AC＝2R，SO＝R，∴该四棱锥的底面边长AB＝2R.∵该四棱锥的1表面积等于16＋16 3，∴(2R)＋4××2R×2222（2R）－＝16＋16 3，解得R2R2464 2＝2 2，∴球O的体积是πR3＝π.故选D. 33