3.3.4 两条平行直线间的距离ppt配套的教学设计方案

两条平行直线间的距离

一、

教材分析

“课程标准”对本节教学内容的要求是：会求两条平行线间的距离。故本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合.学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣. 二、

教学目标

1.掌握两条平行线间的距离公式；

2.距离公式的综合应用。

三、核心素养

1.数学抽象：由特殊到一般推到两条平行直线间的距离;[来源:Z|xx|k.Com] 2.逻辑推理：两条平行直线间的距离的推导; 3.数学运算：例题及变式中运用距离公式解题；

4.数学建模：用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性. 四、教学重难点

重点：掌握两平行线之间的距离. 难点：距离公式的综合应用. 五、教学过程

导入新课

我们已学习了点到直线的距离公式.那么怎样利用点到直线的距离公式求两条平行线间的距离. 新知探究

知识点

点到直线的距离

导疑1

如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？

导疑2

根据导疑1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？

导疑3

点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？

|PR||PS|导思1

d＝|RS|. |Ax0＋By0＋C|导思2

d＝. A2＋B2导思3

仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，

C|By0＋C|C即y＝－B，d＝y0＋B＝|B|，适合公式．

C|Ax0＋C|C②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－A，d＝x0＋A＝|A|，适合公式．

导果

点到直线的距离公式

(1)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(2)点到特殊直线的距离

点P(x0，y0)到x轴距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y＝a的距离d＝|y0－a|，到y轴距离d＝|x0|，到平行于y轴的直线x＝b的距离d＝|x0－b|. 两条平行直线间的距离

导疑

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

导思

点A、B、C到直线l2的距离分别为2、2、2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．

导果

两平行线间的距离

(1)两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，也就是一条平行线上任一点到另一直线的距离．

(2)两条平行线间的距离公式

①P(m，n)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与|Am＋Bn＋C2|l2之间的距离d＝. 22A＋B②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间距离d＝|Ax0＋By0＋C|. 22A＋B

|C1－C2|22. A＋B

(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；

(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；

(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；

(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) m＋n－1(1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(

) 2(2)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(

) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．(

) 答案

(1)×

(2)×

(3)√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)点P(1,2)到直线2x＋y－4＝0的距离等于________．

(2)若点(4,3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________. (3)两平行线x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0间的距离等于________．

答案

(1)0

(2)±5

(3)25

3．已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(

) A.2

B．2－2

C.2－1

D.2＋1 答案

C

题型一

点到直线的距离

例1

已知P1(2,3)，P2(－4,5)与点A(－1,2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程．

[解]

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，因为P1，P2到直线l的距离相等，所以|2k－3＋k＋2||－4k－5＋k＋2|＝，化简得k2＋1k2＋11|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－3，故直线l的方程为x＋3y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. [解法探究]

例1还有其他解法吗？

解

(数形结合)设所求直线为l，由l过点A且与P1、P2距离相等，所以l有两种情况(如图所示)．

1①当P1、P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－3(x＋1)，即x＋3y－5＝0. ②当P1、P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0. ∴所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. [跟踪训练1]

求点P0(－1,2)到下列直线的距离．

(1)2x＋y－10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y－1＝0. |2×－1＋2－10|解

(1)根据点到直线的距离公式得d＝＝25. 22＋12(2)直线方程可化为x＋y－2＝0，所以d＝|－1＋2－2|2＝. 2221＋1(3)因为直线y－1＝0平行于x轴，所以d＝|2－1|＝1. 题型二

两条平行直线间的距离

例2

求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0距离为2的直线方程．

[解]

由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝|C－－1||C＋1|＝2，

22＝52＋－1∴|C＋1|＝25，C＝±25－1. ∴所求直线的方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0. [解法探究]

例2还有其他解法吗？

解

设所求直线上任意一点P(x，y)，

则P到2x－y－1＝0的距离为

|2x－y－1||2x－y－1|d＝2＝＝2，

52＋－12∴2x－y－1＝±25. ∴所求直线的方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.

[跟踪训练2]

两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2距离为5，求两直线方程．

解

依题意，两直线的斜率存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2距离为5，

|－k－5|5所以2＝5，解得k＝0或12. k＋1所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 题型三

距离公式的应用

例3

已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

2x＋y－5＝0，[解]

(1)联立⇒交点P(2,1)．

x－2y＝0当直线斜率存在时，

设l的方程为y－1＝k(x－2)，

即kx－y＋1－2k＝0，

|5k＋1－2k|4∴＝3，解得k＝3. k2＋14∴l的方程为y－1＝3(x－2)，

即4x－3y－5＝0. 而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，

故所求l方程为4x－3y－5＝0或x＝2. 2x＋y－5＝0，(2)由解得交点P(2,1)．

x－2y＝0，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，

∴dmax＝|PA|＝10. [解法探究]

例3(1)还有其他解法吗？

解

经过两已知直线交点的直线系方程为

(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

∴|52＋λ－5|22＝3，

2＋λ＋1－2λ1即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或2. ∴l的方程为4x－3y－5 [跟踪训练3]

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：

(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时两条直线的方程．

解

(1)解法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，

则它们之间的距离为9. ②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为

l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)，

即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0，

∴d＝|3k－1＋6k－2|3|3k－1|＝2，

k2＋1k＋1即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0. ∵k∈R，且d≠9，d>0，

∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，

即0

解法二：如图所示，显然有0

而|AB|＝6＋32＋2＋12＝310，

故所求的d的变化范围为(0，310]．

(2)由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB. 2－－11而kAB＝＝，

6－－33

∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为

y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 课堂小结

1.应用点到直线的距离公式应注意的问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝|kx0－y0＋b|. k2＋1(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系. (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离. ①P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；

②P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|. 2.对两平行直线间的距离公式的理解

(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式. (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等. (3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决. ①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 当堂检测

1．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意的点，则|PQ|的最小值为(

) 918A.5

B.5

C．3

D．6 答案

C 34－12解析

∵6＝8≠6，∴已知两直线平行，方程可化为3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0.|PQ|的最小值为平行线间的距离d＝|－12－3|＝3. 32＋4252．已知点A(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为5，则点A的坐标为(

)

A．(0，－2)

C．(0，－2)或(2,4)

答案

C B．(2,4) D．(1,1) |21＋t－1＋3t－1|5＝，解2252＋1解析

(1＋t,1＋3t)到直线2x－y－1＝0的距离d＝得t＝±1，

当t＝1时，A(2,4)，当t＝－1时A(0，－2)，故选C. 3．若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程是(

) A．32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0 B．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0 C．7x＋4y＝0 D．x－4y＋4＝0 答案

A 解析

∵|5x－12y＋13||3x－4y＋5|＝

135∴32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0. 4．经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．

答案

2 x＋3y－10＝0，x＝1，解析

由可解得故两条直线x＋3y－10＝0和3x－y3x－y＝0y＝3，＝0的交点坐标为(1,3)．又知过该点的直线与原点的距离为1，分类讨论如下：

若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；

若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k|3－k|22＝0，因其到原点的距离为1，由公式＝1，故有1＋k＝9－6k＋k，即91＋k244－6k＝1，得k＝3.所以所求直线方程为y－3＝3(x－1)．

综上，满足条件的直线有2条．

5．已知直线l1：2x＋3y－1＝0与l2：4x＋6y－5＝0，直线l∥l1∥l2，且直线l在直线l1与l2的正中间位置，求直线l的方程．

解

∵直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0，

∴可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0，

又∵直线l在直线l1与l2的正中间位置，

|－2－C||－5－C|∴22＝22，即|C＋2|＝|C＋5|，

4＋64＋67解得C＝－2. 7∴直线l的方程为4x＋6y－2＝0，整理得8x＋12y－7＝0.