小结教学目标设计

空间点、直线、平面之间的位置关系

一、知识梳理

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1

经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

平行共面直线相交异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．

π0，. ②范围：23．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．

4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．定理

(1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

(2)过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(

√

) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(

×

) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(

×

) (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(

×

) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(

√

)

二、题型分析

题型一

平面基本性质的应用

例1

平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直1角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE21＝AF，G、H分别为FA、FD的中点．

2(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

思维升华

公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据．

题型二

判断空间两直线的位置关系

例2

(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是________．

①MN与CC1垂直；

②MN与AC垂直；

③MN与BD平行；

④MN与A1B1平行

思维升华

空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

题型三

求两条异面直线所成的角

例3

空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

思维点拨

取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角．

思维升华

(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．

(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．

三、跟踪练习

1.(2014·大纲全国改编)已知正四面体(各面均为正三角形)ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为________．

2.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．

四、方法与技巧

1．主要题型的解题方法

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．

(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线．

2．判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．

五、课后练习

1.四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为

，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为________.

2.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.

(1)求四棱锥O－ABCD的体积；

形，(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.

3.如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是________.

4.已知正方体ABCD－ABCD中，E、F分别为BB、CC的中点，那么异面直线AE与DF111111所成角的余弦值为________.

5.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2

，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.

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