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第3讲

直线与圆

基本知识点复习

一、直线方程

1．直线方程的五种形式

(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)．

(2)斜截式：y＝kx＋b. y－y1x－x1(3)两点式：＝(x≠x，y≠y)．

y2－y1x2－x11212xy(4)截距式：a＋b＝1(a≠0，b≠0)．

(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．

2．三种距离公式

(1)两点间的距离：

|AB|＝x2－x12＋y2－y12(其中A(x1，y1)，B(x2，y2))．

|Ax0＋By0＋C|(2)点P到直线l的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直A2＋B2线l的方程：Ax＋By＋C＝0)．

|C2－C1|(3)两平行线间的距离：d＝22(其中两平行线方程分别为l1：A＋BAx＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．

3．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

二、圆的方程

1．圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程

EDx＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D＋E－4F>0)表示以

－2，－22222D2＋E2－4F为圆心，为半径的圆．

2三、

直线与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系有三种：相交、相切和相离

直线与圆的位置关系的判断方法主要有点线距离法和判别式法．

(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr⇔直线与圆相离．

(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋CAx＋By＋C＝0，＝0，联立222消去y，得关于x的一元二次方程，x－a＋y－b＝r

其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0；直线与圆相切⇔Δ＝0；直线与圆相交⇔Δ>0.

2．圆与圆的位置关系有五种：内含、内切、相交、外切、外离

222设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆C2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2，两圆心之间的距离为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；

(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；

(3)|r1－r2|

(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；

(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．

3．与圆的切线有关的结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；

(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)2引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|＝x0＋y20＋Dx0＋Ey0＋F. C1.直线方程

典型例题讲解

[考题调查1] a．含参直线过定点现象

1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

解析：易知直线x＋my＝0过定点A(0,0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1,3)，且两条直线相互垂直，故点P在以AB为直径的圆上|PA|2＋|PB|2|AB|2运动，故|PA|·|PB|≤＝2＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时等号2成立．

b．对称问题

2．(2018·广东江门4月模拟)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是(

)

11A．－8

B．－2

C．8

D.2

解析：易知直线l1：4x＋y＝1关于直线l2：x－y＝0对称的直线方程为x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3，故由题意得1×2＋4×(－m)＝10，∴m＝2，故选D. [对点提升1] 1．(2018·贵州遵义联考)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为(

) A．2x＋y－3＝0

B．2x－y＋3 ＝0 C．x－2y－3＝0

D．x－2y＋3 ＝0

2．(2018·山东、湖北名校联考)已知A(－2,0)，点P(x，y)满足xππ则直线AP的斜率的取值范围θ＋θ－＋y＝2sinx－y＝2sin4，4，为

(

) 33A.－，

3311C.－2，2

B．[－3，3] D．[－2,2] π2sinθ＋4，x＋y＝解析：由x－y＝πθ－2sin4，

x＝sin θ，得

y＝cos θ，

故x2＋y2＝1，即点P(x，y)是x2＋y2＝1上的点．如图，过A向3333圆作切线，两切线的斜率分别为3，－3，由图可知，k∈－，，33故选A.

C2.圆的方程

[考题调查2] a．圆的标准方程

1．(2018·全国Ⅱ，19,12分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解：(1)由题意，得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y＝kx－1，由2得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. y＝4x，22k＋42Δ＝16k＋16>0，故x1＋x2＝k2.

4k2＋4所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝k2. 4k2＋4由题设知k2＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1. 因此l的方程为y＝x－1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

y0＝－x0＋5，2y－x＋1002x＋16.0＋1＝2

x0＝3，x0＝11，解得或

y＝2y＝－6.00

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 小结：

应用两圆外切，列方程可得圆心坐标．

待定系数法设直线方程为y＝2x＋m，由BC＝OA列方程求解m. 把向量式转化为坐标运算，由相关点法(代入法)得到动点P也在以(t＋4,3)为圆心的圆上，从而由圆的位置关系求解t的取值范围．

作业：基础训练题1--7题