习题2.1教学设计实例

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

1.直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( D ) (A)

(B)a (C)- (D)-或不存在

解析:若a=0,则l2的斜率不存在; 若a≠0,则l2的斜率为-.故选D. 2.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,有下列说法: (1)若l1∥l2,则斜率k1=k2;(2)若斜率k1=k2,则l1∥l2; (3)若l1∥l2,则倾斜角α1=α2;(4)若倾斜角α1=α2,则l1∥l2. 其中正确说法的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:需考虑两条直线重合的特殊情况,(2),(4)都可能是两条直线重合,(1),(3)正确. 3.已知A(m2+2,m),B(m+1,-1),若直线AB与斜率为2的直线平行,则m的值为( B ) (A)

(B)或1 (C)1 (D)-1

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解析:由题知kAB=2, 即==2, 整理得2m2-3m+1=0, 解得m=或m=1. 4.若A(0,1),B(,4)在直线l1上,且直线l1⊥l2,则l2的倾斜角为( C ) (A)-30° (B)30° (C)150° (D)120°

解析:因为==,所以l1的倾斜角为60°.因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C. 5.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( C ) (A)锐角三角形

(B)钝角三角形

(C)以A点为直角顶点的直角三角形

(D)以B点为直角顶点的直角三角形

解析:如图所示,易知kAB==-,kAC==,由kAB·kAC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形,故选C.

6.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,则四边形ABCD的形状是( D )

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(A)平行四边形

(B)矩形

(C)菱形

(D)直角梯形

解析:因为kAB=kCD=kAD=kBC==, =-3, =-, =, 所以AB∥CD,AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形. 7.已知直线l1的斜率为2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),若l1∥l2,则lox等于( D ) (A)3 (B)

(C)2 (D)-

解析:由题意得=2,得x=3,所以lo3=-. 8.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为( C ) (A)(0,-6) (B)(0,7) (C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0) 解析:由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在. 又kAP=

,kBP=,kAP·kBP=-1, - 3 -

即·(-)=-1, 解得y=-6或y=7. 所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7),故选C. 9.直线l平行于经过两点A(-4,1)和B(0,-3)的直线,则直线l的倾斜角是

.

解析:直线l的斜率k=所以倾斜角为135°. 答案:135°

10.已知直线l1的斜率k1=3,直线l2过点A(3,-1),B(4,y),C(x,2),且l1∥l2,则x=

,y=

.

=-1, 解析:由题知答案:4 2 解得

11.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在BC的高所在的直线上,则实数m=

.

解析:由题意知kAD·kBC=-1, 即×=-1,解得m=. 答案:

12.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则给出下面四个结论:

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①AB∥CD,②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD.其中正确结论的序号是

.

解析:因为kAB=-,kCD=-,kAC=,kBD=-4, 所以kAB=kCD,kAC·kBD=-1,所以AB∥CD,AC⊥BD. 答案:①④

13.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线: (1)倾斜角为135°; (2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直; (3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行. 解:(1)由kAB==-1,解得m=-或1. ,且=3, (2)显然m≠0,由kAB=得(3)令=-,解得m=或-3. ==-2,解得m=或-1. 14.已知△ABC的顶点坐标为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,试求m的值. 解:kAB==-,kAC==-,kBC==m-1. 若AB⊥AC,则有-·(-)=-1,所以m=-7; 若AB⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=3;

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若AC⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=±2. 综上可知,所求m的值为-7,±2,3. 15.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状. 解:由斜率公式得kOP=kQR=kPQ====t, =-, =t,kOR==-. 所以kOP=kQR,kOR=kPQ, 从而OP∥QR,OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,故四边形OPQR为矩形.

16.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,有O,A,B,C四点共圆,那么y的值是( B ) (A)19 (B) (C)5 (D)4 解析:由题意知AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即选B. 17.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有

×=-1,解得y=,故

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( C ) (A)b=a3

(B)b=a3+

(C)(b-a3)(b-a3-)=0 (D)|b-a3|+|b-a3-|=0 解析:若以O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意;若∠A=,则b=a3≠0.若∠B=,根据垂直关系可知a2·

=-1,所以a(a3-b)=-1,即b-a3-=0.以上两种情况皆有可能,只有C满足条件.故选C.

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