复习参考题教案和学案内容

《直线与方程》习题课教学设计

嘉善高级中学

李建良

一、教材分析

解析几何其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想，本章内容是人教版必修2第三章《直线与方程》，在本章的教学中，教师应帮助学生经历如下过程：首先将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线方程，把直线问题转化为代数问题，处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断体会数形结合的思想方法

. 二、学情分析

通过本章的学习，学生初步形成了用代数方法解决几何问题的能力，体会了数形结合的思想.本节课是《直线与方程》复习课，通过本节复习课，要求学生熟练掌握在平面直角坐标系中建立直线的代数方程，运用代数方程研究直线、直线之间的位置关系、两条直线的交点坐标、点到直线的距离，以及与此相关的一些应用，进一步培养学生数形结合解决问题的能力

. 三、教学目标

1.知识与技能：

（1）掌握直线的五个方程，理解几种形式之间的内在联系；掌握直线方程各种形式之间的互化，并能求直线的方程

. （2）理解直线之间的位置关系，学会根据直线方程的不同形式去判断两直线的位置关系；能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程

. （3）掌握通过解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标；掌握两点间距离公式、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离

.

2.过程与方法：通过对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力.

3.情感态度价值观：

学生通过知识的整合、梳理，理解直线的方程及其相互联系，进一步培养学生的数形结合思想和解决问题能力

. 四、重点难点

1.教学重点：直线方程的五种形式，以及根据具体条件求出直线的方程；两条直线位置关系的判定以及各类距离问题

.

2.教学难点：直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系理解；中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．

1

五、教法学法

通过对典型例题的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用坐标法、数形结合思想、化归思想以及分类讨论的思想，过程中要引导学生积极思考，主动探究解决问题的方法，体现教师为主导，学生为主体的教学理念

. 六、教学过程

考点一

直线的倾斜角与斜率

（一）问题提出

问题：若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，求直线l的倾斜角的取值范围. m2－1解析:

直线l的斜率k＝＝1－m2≤1. 1－2ππ若l的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈0，4∪2，π. 【设计意图】通过具体问题让学生回忆倾斜角概念以及斜率计算公式

. （二）知识梳理

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．

2．斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1. x2－x1【设计意图】回顾斜率和倾斜角概念、斜率的两个计算公式以及适用条件

. （三）典例分析

例1

直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l斜率的取值范围．

解析：如图，

∵kAP＝1－03－0＝1，kBP＝＝－3，

2－10－1

2

∴k∈(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)．

【设计意图】进一步熟悉过两点计算斜率的公式，学会如何通过倾斜角的变化π来判断斜率的变化，由正切函数图象可以看出，当α∈0，2时，斜率k∈[0，ππ＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈2，π时，斜率k∈(－∞，0)．

2（四）拓展应用

y练习、已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则x的最大值为________；最小值为________．

y解析: 作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把x看成过点

(x，y)和原点的直线的斜率进行求解．如图，设点P(x，y)，

2y2kOA＝2，kOB＝，所以

x

的最大值为2，最小值为. 33【设计意图】熟练掌握根据斜率求倾斜角的范围的办法，考虑到直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分ππ0，2与2，π两种情况讨论．解题时一定要结合图像，渗透数形结合的思想 . 考点二

求直线的方程

（一）问题提出

问题：

已知O(0，0) ,A(8，0) ,B(0，5) 为矩形的三个顶点，

（1）求矩形的两条对角线所在直线的方程；

（2）你能写出几种形式的直线AB的方程？

（书本P114页A组第1题改编）

解析: （1）由题意得C（8,5），根据点斜式或两点式方程，可得直线OC方程：

5x－8y＝0，直线AB 的方程为：5x+8y－40＝0. 55（2）点斜式：y(x8)；斜截式：yx5；

88y0x8xy

两点式：；截距式：1；一般式：5x8y40

500885【设计意图】通过问题提出，一题多解，让学生回忆常用的直线方程，如点斜式、两点式等.

3

（二）知识梳理

1．直线方程的五种形式

名称

点斜式

斜截式

两点式

方程

y－y0＝k(x－x0)

y＝kx＋b y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1xya＋b＝1

Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0) 22适用范围

不含直线x＝x0

不含垂直于x轴的直线

不含直线x＝x1 (x1≠x2)和

直线y＝y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

平面直角坐标系内的直线都适用

截距式

一般式

【设计意图】回顾直线方程的五种形式以及它们适用的范围

. （三）典例分析

例2

过点A(－5，－4)作直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l的方程．

xy解析：由已知，l的两截距不为0，设l的方程为a＋b＝1，

－5－4a＋b＝1，则12|ab|＝5，

5a＝－，a＝5，2解得或b＝－2b＝4.

xyxy∴直线l的方程为－＝1或＋＝1，即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0. 5254－2【设计意图】引导学生在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

（四）拓展应用

练习：已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

4

xy解析：

方法一

设直线方程为a＋b＝1(a>0，b>0)，

32把点P(3,2)代入得a＋b＝1≥26ab，得ab≥24，

132从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当a＝b时等号成立，这时k2b2＝－a＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0. 32方法二

设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，且有A3－k，0，B(0,2－3k)，

12112＋－9k＋41∴

S△ABO＝(2－3k)3－k＝≥12＋2 －k2224

－9k·－k142＝×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．

23－k即△ABO的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0. 【设计意图】通过一题多解，训练学生从不同角度思考问题，并且体会各种方法的差别，引导学生在求直线方程时要合理选取方程形式

. 考点三

两条直线的位置关系

（一）问题提出

问题1：已知两条直线l1：x＋2ay—1＝0，l2：（3a—1）x—ay—1＝0平行，求a的值. （书本P114页A组第5（2）题）

问题2：已知两直线方程分别为l1：2x＋ay＝2，l2：ax＋2y＝1，若l1⊥l2，求a的值. （书本P114页A组第6（2）题）

解析

(1)若a＝0，两直线方程为x＝1和x＝－1，此时两直线平行.

当a≠0时，若两直线平行，则有12a11，解得a

3a1a16a (2)方法一

∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即

＝－1，解得a＝－2. 2

方法二

∵l1⊥l2，∴2a＋2 a＝0，a＝0. 【设计意图】

通过问题解决让学生回忆平行、垂直两种直线位置关系判定的方法以及各类距离的求法

. （二）知识梳理

1．两条直线的位置关系

(1)两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

5

(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：

(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. ※直线方程一般式：

1．两直线平行或重合的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.（平行：B1C2－B2C1≠0）

）2．两直线垂直的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. (2)两条直线的交点

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方A1x＋B1y＋C1＝0，程组的解．

Ax＋By＋C＝02222．几种距离

(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离

|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

|Ax0＋By0＋C|d＝. 22A＋B(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝|C1－C2|. A2＋B2【设计意图】回顾两条直线平行和垂直的充要条件，以及各类距离公式

. （三）典例分析

1. 两条直线的平行与垂直判定问题

例3

已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使

6

得：

(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2. 解析：

(1)方法一

当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，

1，k2＝－2sinα. sinα12π要使l1∥l2，需－＝－2sinα，即sinα＝±. 经检验符合，α＝kπ±，k∈Z. sinα242π方法二

由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sinα＝±，所以α＝kπ±，24πk∈Z.

又B1C2－B2C1≠0，α＝kπ±，k∈Z. 4l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 当sinα≠0时，k1＝－(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 【设计意图】掌握判定直线平行或垂直的方法.当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

2. 两条直线的交点与距离问题

例4

正方形的中心为点M(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．（书本P115页B组第10题）

解析：设与已知直线平行的直线为x3yc10,

另两条都与已知直线垂直，设为3xyc20,四边形ABCD是正方形

AD//BC，

由点M到直线AD,BC的距离相等，得：|(1)305|1322|(1)30c1|1322

c17或c15（舍）

由点M到直线AD,AB的距离相等，得|(1)305|1322|3(1)0c2|3122

c29或c23，

综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是：

x3y70,3xy90,3xy30．

【设计意图】掌握常见的距离问题，以及利用距离来求直线方程. (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直

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线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．

3. 对称问题

例5

过点P(3,0)作直线l，使它被直线l1：2x－y－2＝0和l2：x+y＋3＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．（书本P115页B组第8题）

解析:

(1)设l1与l的交点为A(a,2a－2)，则由题意知，点A关于点P的对称点

B(6－a,2－2a)在l2上，代入l2的方程得6－a+2－2a＋3＝0，解得a＝A(1116,)在直线l上，所以直线l的方程为8x－y－24＝0. 3311，即点3【设计意图】

掌握利用中心对称解决直线方程问题，以及点关于直线对称的点的坐标的求法, 中心对称一般方法如下：点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，x′＝2a－x，y′)满足．

y′＝2b－y.（四）拓展应用

练习、

已知ABC顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为y2xy50,AC边上的高BH所在直线方程x2y50．求：

C（1）顶点C的坐标；

（2）直线BC的方程．

分析：第一问主要是考查设、求直线AC，

熟练解答过程，先设直线AC为：2xyc0

然后代入点A(5,1)；第二问考查用先设、求点B，

然后与点C求出直线BC，或者设直线BC的点斜

式方程，再结合中点坐标公式求出斜率k．

解析：(1)由题意，得直线AC的方程为2xy110．

2xy50解方程组．

,

得点C的坐标为（4，3）2xy110x5y01,)．于是有

（2）解法一：设B(x0,y0),则M(022y1x05050,即2x0y010．与

2x02y050联立，解得点B的坐标为(-1,-3)．

8

AHxOBM

于是直线BC的方程为6x5y90．

解法二：设直线BC的方程为y3k(x4)，即kxy34k0．

8k11k3x2y50,y解方程组．

,得x2k12k1kxy(4k3)09k8k4因为点M是线段AB的中点，所以点M的坐标是(,)．

2k12(2k1)18k16k46把点M的坐标代入直线CM的方程，得50．解得k．

52k12(2k1)所以直线BC的方程为6x5y90．

【设计意图】通过变式训练，进一步巩固直线位置关系判定、距离和对称问题的解决方法

. 七、课堂小结

1．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．

（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．

（2）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．

2．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1//l2k1k2，l1l2k1k21．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意．

3．在运用两平行直线间的距离公式dC1C2AB22时，一定要注意将两方程中的x，y项系数化为分别相等的系数．

4．两直线平行时，直线可设为axbyc10,axbyc20，两直线垂直时，直线可设为axbyc10,bxayc20，可以简化运算．

八、布置作业（略）

【设计意图】复习课由于内容较多，难以把涉及全面，把对称这一重要问题当作习题作为补充，教师可以灵活把握，有时间可以讲解

.

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九、板书设计

标题：直线与方程习题课

1. 直线斜率与倾斜角

倾斜角范围；斜率公式

2.直线方程五种形式

点斜式；斜截式；两点式；截距式；

一般式

3.两条直线位置关系

（1）平行与垂直的判定

间距离公式

（3）常见对称问题

十、教后反思

典例分析

例1至例5

拓展练习

练1至练5

（2）两点间、点到直线间、平行直线

1. 本节课目的在于回顾本章学习的主要内容以及重要的思想方法，使得学生形成系统的知识结构，教学中，以习题为载体来复习本章所学习的内容，而不是简单的复述学习过的内容，教师引导学生对知识点进行梳理，然后精选典例进行分析，拓展延伸，这样的设计由易到难，由浅入深，让学生在不知不觉中掌握了知识，提升了能力

. 2．本节课对本章知识点采用了分类复习的方法，用更加具有代表性的例题进行了替换．教学内容设计，把全章内容重点把握，分类讲解，一题多解，训练学生从不同角度思考问题，并且体会各种方法的差别．渗透相关点代入法，以及数形结合等思想方法．

3. 本节课采用引导探究式的教学方法为主，使学生在探究中益智，教材中的例题，采用学生自主解决，教师适当点拨的方法；拓展性训练采用自测练习，教师讲评的方法，从而培养了学生发现问题、解决问题以及应用知识的能力

.

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