习题3.3PPT及课堂实录内容

章末复习习题课

岷县第三中学

王平

学习目标

1.能熟练求出两直线的交点坐标.2.理解直线过定点的含义.3.能解决简单的对称问题.4.体会坐标法的基本思想．

知识点一

两直线的交点坐标

已知直线：l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，点A(a，b)．

(1)若点A在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则有：Aa＋Bb＋C＝0. (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有：

A1a＋B1b＋C1＝0，

A2a＋B2b＋C2＝0.

知识点二

两直线的位置关系

A1x＋B1y＋C1＝0方程组的解

A2x＋B2y＋C2＝0

一组

一个

相交

无数组

无数个

重合

无解

零个

平行

直线l1与l2的公共点的个数

直线l1与l2的位置关系

知识点三

两点间的距离公式

(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．

(2)结论：|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22. (3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝x2＋y2.

类型一

直线恒过定点问题

例1

求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．

证明

方法一

对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，

令m＝0，得x－3y－11＝0；

令m＝1，得x＋4y＋10＝0. x－3y－11＝0，解方程组

x＋4y＋10＝0，

得两条直线的交点坐标为(2，－3)．

将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0. 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．

方法二

将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0. 2x＋y－1＝0，由于m取值的任意性，有

－x＋3y＋11＝0，x＝2，解得

y＝－3.

所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．

反思与感悟

解含有参数的直线恒过定点的问题

(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，A1x＋B1y＋C1＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组A2x＋B2y＋C2＝0

解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0)．

跟踪训练1

不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________________．

答案

(9，－4) 解析

方法一

取m＝1，得直线y＝－4. 1取m＝，得直线x＝9.故两直线的交点为(9，－4)，

2下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4)．

将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边，

故直线恒过点(9，－4)．

方法二

直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，

∵对任意m该方程恒成立，

x＋2y－1＝0，x＝9，∴解得

x＋y－5＝0，y＝－4，

故直线恒过定点(9，－4)．

类型二

对称问题

命题角度1

关于点对称问题

例2

(1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标；

(2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程．

解

(1)根据题意可知点A(a，b)为PP′的中点，

设P′点的坐标为(x，y)，

则根据中点坐标公式得y＋yb＝2，0x＋x0a＝，2

x＝2a－x0，所以

y＝2b－y0.

所以点P′的坐标为(2a－x0，2b－y0)．

(2)方法一

设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，

则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，

且M1在直线3x－y－4＝0上，

所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，

即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法二

在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，

则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4,2)，

点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．

可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，

即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 反思与感悟

(1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则x，x＝x＋2P是线段AB的中点，并且y＋yy＝.2120120

(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点．

跟踪训练2

与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(

) A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0

答案

D 解析

由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0. 在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，

关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，

则点(－1，－2)必在所求直线上，

∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8. ∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0. 命题角度2

关于轴对称问题

例3

点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(

) A．(－2,1)

C．(2，－5)

答案

B 解析

设对称点坐标为(a，b)，

a－3b＋42＋2－2＝0，由题意，得b－4a＋3＝1，a＝－2，解得即Q(－2,5)．

b＝5，B．(－2,5) D．(4，－3)

反思与感悟

(1)点关于直线的对称问题

y－yA·－＝－1，x－xB求P(x，y)关于Ax＋By＋C＝0的对称点P′(x，y)时，利用x＋xy＋yA·＋B·＋C＝022000000

可以求P′点的坐标．

(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点．

跟踪训练3

一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．

解

设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，

由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得

ab8×2＋6×2＝25，b4·－＝－1，a3

a＝4，解是

b＝3，

∴点A的坐标为(4,3)．

∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，

又∵反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，

故反射光线所在直线方程为y＝3. y＝3，由方程组

8x＋6y＝25，

7x＝8，解得

y＝3，由于反射光线为射线，

7故反射光线的方程为y＝3(x≤)．

8类型三

运用坐标法解决平面几何问题

例4

在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

证明

设BC所在边为x轴，

以D为原点，建立坐标系，

如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，

则B(－a,0)．

∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，

|AC|2＝(a－b)2＋c2，

|AD|2＝b2＋c2，

|DC|2＝a2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，

|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

反思与感悟

利用坐标法解平面几何问题常见的步骤

(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．

(2)用坐标表示有关的量．

(3)将几何关系转化为坐标运算．

(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．

跟踪训练4

已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 证明

如图所示，建立直角坐标系，

设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，

∴|AC|＝b－02＋c－02＝b2＋c2，

|BD|＝a－b－a2＋c－02＝b2＋c2. 故|AC|＝|BD|.

1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(

) A．2

C．5

答案

D 2，1＝x－2解析

由题意知5－3y＝2，B．4 D.17

x＝4，解得

y＝1.

∴P(4,1)，则|OP|＝42＋12＝17. 2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(

) A．12

B．10

C．－8

D．－6 答案

B 解析

将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0可求得m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得n＝5，所以m＋n＝10，故选B. 3．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．

答案

(－1，－2) 解析

直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．

4．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为________．

答案

x－y＋1＝0 解析

线段PQ的垂直平分线就是直线l，

4－2则kl·kPQ＝kl·＝－1，

1－3得kl＝1，PQ的中点坐标为(2,3)，

∴直线l的方程为y－3＝x－2，

即x－y＋1＝0. 5．已知直线λ：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．

31(1)证明

直线l的方程可化为y－＝a(x－)，

5513所以不论a取何值，直线l恒过定点A(，)，

55又点A在第一象限，

所以不论a取何值，直线l恒过第一象限．

3－a(2)解

令x＝0，y＝，

53－a由题意，≤0，解得a≥3. 5所以a的取值范围为[3，＋∞)．

1．解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1x＋B1y＋C1＋A1x＋B1y＋C1＝0，λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过求解定点．

A2x＋B2y＋C2＝0

2．有关对称问题的两种主要类型

(1)中心对称：

x′＝2a－x，①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足

y′＝2b－y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

(2)轴对称：

①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有

n－b×－A＝－1m－aB，A·a＋mb＋n2＋B·2＋C＝0.

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

课时作业

一、选择题

1．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为(

) A．1

B．－1

C．2

D．－2 答案

B 解析

联立4x＋3y＝10，x＝4，2x－y＝10，

解得y＝－2，

∴交点坐标为(4，－2)，

代入方程ax＋2y＋8＝0，解得a＝－1. 2．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则(

) A．m≠－1且m≠3 B．m≠－1且m≠－3 C．m≠1且m≠3 D．m≠1且m≠－1 答案

A 解析

两线相交，其系数关系为1×3－m(m－2)≠0，

解得m≠3且m≠－1. 3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是(

A．52

B．25 C．510

D．105 答案

C 解析

点A(－3,5)关于x轴的对称点的坐标为A′(－3，－5)．

光线从A到B的距离是|A′B|＝[2－－3]2＋[10－－5]2＝510. )

4．已知M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，且直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，则点N的坐标是(

) A．(－2，－3)

C．(2,3)

答案

C 解析

设点N的坐标为(x，x＋1)，

∵直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，

1∴kMN·(－)＝－1，

2x＋1－－1∴kMN＝2，即＝2，

x－0解得x＝2，

故点N的坐标为(2,3)．

5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(

) A.89

517B.

511D.

5B．(2,1) B．(－2，－1) 13C.

5答案

C 2－1，，解析

直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0，过定点B5由两点间的距离公式，得|AB|＝13. 56．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为(

) A．x＋y－5＝0

C．2y－x－4＝0

答案

A 解析

由已知得A(－1,0)，P(2,3)，

由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，

由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0. 7．点P(a，b)关于l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于(

) A．－1

B．1

C．2

D．0 答案

A 解析

∵点P(a，b)关于l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，∴点P(a，b)在直线l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1. B．2x－y－1＝0 D．2x＋y－7＝0

二、填空题

8．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________．

答案

(－4，－1) 解析

设对称点坐标为(x0，y0)，

y－5x－2×－1＝－1，则x＋2y＋52＋2＝1，0000

x0＝－4，解得

y0＝－1.

9．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．

答案

(6，－8) 31解析

∵3a－4b＝1，∴b＝a－，

4431则直线ax＋by－2＝0，可化为ax＋(a－)y－2＝0，

44即为y＋8＝a(4x＋3y)，

y＝－8，x＝6，由得∴直线过定点(6，－8)．

4x＋3y＝0y＝－8.

10．设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________．

11答案

(，) kk解析

由题知ax＋by＝1可变为ax＋(k－a)y＝1，

即a(x－y)＋ky－1＝0，

若其对于任何a∈R都成立，则

x－y＝0，ky－1＝0，

x＝k，解得1y＝k.1

11．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．

35答案

(－，) 22解析

设P点的坐标是(a，a＋4)，

由题意可知|PM|＝|PN|，

即a＋22＋a＋4＋42＝a－42＋a＋4－62，

3解得a＝－，

235故P点的坐标是(－，)．

22

三、解答题

12．已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，满足下列条件：

(1)l1与l2相交于一点P(m,1)；

(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；

(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1. 1解

(1)把P(m,1)的坐标分别代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0,2m＋m－1＝0，解得m＝，n373＝－. 9(2)显然m≠0. ∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，

m2m＝4，m＝－4，－8＝－m，∴解得或

n＝－4n＝20.3m－8＋n＝0，

(3)由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.当m＝0时，l1的方程为8y＋n＝0，l2的方程为2x－1＝0，∴－8＋n＝0，解得n＝8，∴m＝0，n＝8. 而m≠0时，直线l1与l2不垂直．

综上可知，m＝0，n＝8. 13．过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．

解

方法一

过点M与x轴垂直的直线显然不符合要求，

故设所求直线方程为y＝kx＋1，

若与两已知直线分别交于A、B两点，

y＝kx＋1，y＝kx＋1，则解方程组和

x－3y＋10＝02x＋y－8＝0，

77可得xA＝，xB＝. 3k－1k＋2771由题意得＋＝0，∴k＝－，

43k－1k＋2故所求直线方程为x＋4y－4＝0. 方法二

设所求直线与两已知直线分别交于A、B两点，

点B在直线2x＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，

由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．

又因为点A在直线x－3y＋10＝0上，

所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，

得t＝4，即A(－4,2)，B(4,0)．

由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0. 四、探究与拓展

14．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

D 解析

当直线4x＋y＝4与直线mx＋y＝0平行时，m＝4；

当直线4x＋y＝4与直线2x－3my＝4平行时，－4＝21，即m＝－；当直线mx＋y＝0与直3m64x＋y＝4，2线2x－3my＝4平行时，－m＝，无解；当三条直线交于一点时，联立解得3mmx＋y＝0，

4my＝－4－m，个．

4x＝，4－m

2代入2x－3my＝4，解得m＝或m＝－1.综上所述，满足条件的m值有4315．已知平面内两点A(8，－6)，B(2,2)．

(1)求AB的中垂线方程；

(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；

(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．

8＋2－6＋2解

(1)因为＝5，＝－2，

22所以AB的中点坐标为(5，－2)，

因为kAB＝－6－24＝－，

38－23所以AB的中垂线的斜率为，

43故AB的中垂线的方程为y＋2＝(x－5) 4即3x－4y－23＝0. 4(2)由(1)知kAB＝－，

34所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)，

3即4x＋3y＋1＝0. (3)设B(2,2)关于直线l的对称点B′(m，n)，

n－23m－2＝4，由m＋2n＋24×＋3×＋1＝0，22

解得8n＝－5，14m＝－，5

8－6＋514811所以B′(－，－)，kB′A＝＝－，

5514278＋511所以反射光线所在直线方程为y＋6＝－(x－8)．

27即11x＋27y＋74＝0.