3.1.1 变化率问题教学设计内容推荐

变化率问题教学设计

杨占玲

学习目标

知识与技能

通过对实际背景的分析，学生自主探究，经历归纳出平均变化率概念的过程，会根据函数解析式或图象求平均变化率；

过程与方法

了解平均变化率的意义,从而了解瞬时变化率和导数的实际背景；

情感态度与价值观

使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神

学习重点

了解平均变化率的意义,从而了解瞬时变化率和导数的实际背景。

学习难点

归纳出平均变化率概念的过程。

学法指导

自由的探究学习

知识链接

一、自主学习

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，导数概念是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度

二、合作探究

时间

日最高气温

观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：

3月18日

3.5℃

4月18日

18.6℃

4月20日

33.4℃

(一)问题提出

一、探究1

现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载.

设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。

问题2：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

学生活动

将班内同学每4人分成1组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：

（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？

（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？

（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？

（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？

设计意图：通过分析生活实例，提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

活动预设：学生可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢，即气球的膨胀速度越来越慢，但不知把空气容量的增加转化为体积的增大，应对此加以引导，从而由体积变化量和半径变化量的比值得到气球膨胀率。

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)43r

3如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4分析: r(V)33V，

4⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)

10⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)

21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? r(V2)r(V1)

V2V1设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。

问题3：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度

(单位:m)与起跳后的时间

(单位:s) 存在函数关系动状态, 那么:（1）在，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

思考：当运动员起跳后的时间从增加到时,运动员的平均速度是多少? 设计意图：把问题3中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题2、3的共性。

定义：一般地,函数

中，式子称为函数从到的平均变化率。其中令，，则。

设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。

思考：（1）的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？

设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。

思考：观察函数的图象平均变化率表示什么? 设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

三、典例分析

例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上

f(x)及g(x) 的平均变化率. 例2

求yx2在xx0附近的平均变化率. 

1 、已知函数f(x)=-x+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则2Δy/Δx=( )

A 、 3 B、 3Δx-(Δx)

C 、 3-(Δx) D 、3-Δx 设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。

四.总结提高

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。

设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。

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