信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆精品学案

椭圆及其标准方程

教学设计

鹤壁市外国语中学

崔保利

1

椭圆及其标准方程

一、

教学内容分析

本节课是普通高中课程标准试验教科书，选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》2.2的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在学完《曲线与方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。因此本节内容起到一个承上启下的重要作用。

本课时是概念性教学，而椭圆的概念是教材的一个重点，且是《圆锥曲线》这一章重点中的重点。这是因为：

1、它的概念对学生来讲，相对于圆来说，是全新的，但它是对曲线概念的补充和深化；求椭圆的方程的过程是对求轨迹方程的步骤和方法的巩固和加深。

2、它是后继课程的一个出发点。从椭圆开始，到双曲线、抛物线，对学生来说，都是不很熟悉的，对椭圆概念和方程的掌握好坏，不仅会影响对它本身的掌握，而且直接影响对双曲线、抛物线的学习效果。因为对双曲线、抛物线的学习过程，都可以仿照学习椭圆的过程进行。

3、后继课程中的双曲线、抛物线概念，都可以用椭圆概念来类比，椭圆方程的标准形式与后继课程中的双曲线的方程的标准形式有混淆的地方，对它的特点不清，会影响对双曲线的掌握。

二、教学目标设置

平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。而教材在本章的引言中明确指出：本章我们继续采用必修课程《数学2》中研究直线与圆所用的坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单几何性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课将要完成的教学目标。

（一）教学目标

知识目标：

1.掌握椭圆的定义及焦点、焦距的概念；

2.能建立适当坐标系推导椭圆的标准方程；

3.掌握两类标准方程，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同，并能根据条件确定椭圆的标准方程。

能力目标：

培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和待定系数法等数学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。

情感目标：

鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；通过合作探究、交流，体验数与形对立统一的辩证唯物主义思想和学习的快乐。

（二）教学重点、难点

重点：椭圆的定义和标准方程的的形式、特点，焦点坐标的对应关系。

难点：（1）标准方程的推导，这过程涉及到适当的坐标系的建立和无理方程

2

的变形。

（2）椭圆定义中焦距与长轴的大小关系以及椭圆焦点分别在X轴和Y轴上时的方程的标准形式的区别与联系，这也是教学中的重点。

三、学生学情分析

学生虽然前面必修课程《数学2》已经学过了直线与圆，但离现在时间过长，遗忘较为严重，有些具体的讨论方法也遗忘了。刚刚学习了2.1《曲线与方程》，初步掌握了求曲线方程的方法，毕竟不够熟练。为此，在教学过程中主要采用合作探究的模式，努力做到“温故而知新，人人能参与”，同时注意提高差生的学习兴趣，给差生相应的学法指导。

四、教学策略分析

根据本节课的特点，结合我校的“三个设计导学案”的教学模式，为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，以及为了实现本课的教学目标，本课采用小组合作探究与自主学习相结合的自主探究法。即“创设探究问题——启发小组讨论——展示探索结果——归纳抽象——总结规律”的一种研究性教学方法。通过引导学生观察和对比分析、启发学生思考和概括问题等教学互动活动，突出体现以学生为主体的探索性学习和因材施教的原则。同时使用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，提高学生的学习兴趣，加大一节课的信息容量，提高教学效果和教学质量。

五、教学过程

教学

环节

教学过程及设计

【引入新课】：给出椭圆的一些图片：嫦娥一号运设计意图

引入新课温故知新借助多媒体形成生动的直观图行轨迹，立体几何中椭圆的直观图……

象，使学生明确学习椭圆的重要性和请同学们注意观察这些，他们的形状象什么？

必要性。

除了在实际生活中以外，数学中我们也遇到这一类通过图片、实图形，这类图形是哪些点的轨迹形成的，导入课题。

物，吸引学生的注意力，提高参与程

度，为后续学习做

好准备。

【知识准备】:在必修2的第四章我们学习了圆，

回顾: 注重知识的连1.我们是怎样研究圆的？

续性和内在联系，2.圆的定义是什么？

类比旧知学习新知

3.求圆的方程的步骤是什么？求曲线方程的一般步

骤呢？

4.圆的标准方程是：

3

探究问注重概念形成过程，通过让学生1.认真阅读教材第32页探究内容，并改变两定点间亲自动手，思考问的距离，反复做几次，观察所画曲线形状，交流你的题；从感性认识自体会和结论。

然过渡到理性认2.椭圆定义：

。

识，培养学生的观3.思考：常数的大小对轨迹的影响

察、归纳、概括能（1）若常数F1F2，则点M的轨迹为

力。

在给出定义（2）若常数F1F2，则点M的轨迹为

. 后，通过设问让学生加深对椭圆定义（3）若常数F1F2，则点M的轨迹中的关键词汇的理解，进一步强化椭为

. 圆定义，真正使学【探究二】椭圆的标准方程

生理解定义的内涵1．标准方程的推导

和外延。

【探究一】椭圆的定义

学会建立适当的坐标系，构造数

与形的桥梁，学会用解析的方法来解

决问题，渗透数形结合的数学思想。

(2)设点

让学生参与到问题的解答中，体(3)列式

验方程推导的全过程，数形结合思想，(4)化简

用代数方法解决几何问题的思想和方

法，起到真正掌握

这一方法的目的。

复习无理方程

的化简，学生展示

化简过程来突破难

点。

2.结合椭圆标准方程的推导过程，讨论探究：

体现对称的思若椭圆的焦点y轴上，椭圆的标准方程有什么改变？想及数学的美感

其它量有改变吗？试完成下表：

4

(1)建系

题，交流展示

定义

学生运用类比的方法，参照上面方法探究焦点在y轴的椭圆的标准方程。反馈学生的掌握情况，并以此训练学生的思维能力，活学活用能力。

通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解。也是对学生观察、归纳能力的训

以表格的形式更利于两种类型的椭圆方程的比较，强化概念。

图形标准

方程

焦点

坐标

a,b,c的关

系

焦点位置的判断

【小试牛刀】：

应用知识，巩固提高

a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：

____________焦距等于______;曲线上一点P到左焦通过此练习让点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于学生深刻理解椭圆_______，则三角形F1PF2的周长为___________ 的定义，椭圆方程两种形式的异同和x2y21，则a=_____，基本量关系

(2)已知椭圆的方程为：

45

b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________

焦距等于__________; 若CD为过上焦点F2的弦，则三角形F1CD的周长为________。

2. 若动点P到两定点F1（-4,0）、F2（4,0）的距离之和为8，则动点P的轨迹是

A、椭圆

B、线段F1F2

C、直线F1F2

D、不存在

x2y21，则1.填空：(1)已知椭圆的方程为：2516

5

【尝试求方程】：

求适合下列条件椭圆的标准方程. 1.已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，

结果如何？

变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？

归

纳

小

结

通过此练习让学生明白，在求椭圆标准方程时，首先要判断焦点所的位置，也是待定系数法的运用，对标准方程中a、b、c 的关系的掌握

2.两个焦点的坐标分别是0，2、0，2，并且经过

通过变式训练35点P，．

来强化概念，开拓22学生的思维，训练方法一：

学生思维的严谨

性。深化知识点的

掌握，突出重点、

难点

。

方法二：

想一想并组内交流求椭圆标准方程的一般步骤：

小组讨论，合作【课堂小结】：

1.知识方面：

交流，由学生代表总

结表达，教师补充，并总结：

通过小结，使2.方法和技能：

学生理清这节课的重难点，深化对基

本概念，基本理论3.数学思想：

的理解，同时培养

学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。

6

布

置

作

业

地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的体现分层教学近地点A（离地面最近的点）距地面200km，远地点的思想，提高学生B（离地面最近的点）的学习积极性，使距地面约350km，并且各层次的学生都找到各自的学习区，F2、A、B在同一直线进一步完善教学目上，地球半径约为A

标的实现。

B

F1

F2

6400km，求“神六”运行轨道的方程（精确到1km）．

1．基础题：课本42页练习的第2题、第3题

2．能力题：

（1）推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程；

（2）如图，“神舟六号”载人飞船的运行轨道是以．

．

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