习题2.3名师教学视频（文字实录）

《立体几何选讲》教案

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

文字语言

一条直线与一个平面判定定理

内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

垂直于同一个平面的两条直线平行

图形语言

符号语言

a∩b＝O

⇒l⊥l⊥al⊥bα

a⊥α⇒a∥b

b⊥αa，b⊂α性质定理

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

一个平面过另一个平判定定理

面的垂线，则这两个平面垂直

两个平面垂直，则一个性质定理

平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

[小题体验]

1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β(

) A．若l⊥β，则α⊥β

C．若l∥β，则α∥β

解析：选A

∵l⊥β，l⊂α，

∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．

2．(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，B．若α⊥β，则l⊥m

D．若α∥β，则l∥m

图形语言

符号语言

l⊂β⇒α⊥β

l⊥α

⇒l⊥α

α∩β＝al⊥al⊂βα⊥β

则一定互相垂直的平面有________对．

解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7对．

答案：7

1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．

2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．

3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．

[小题纠偏]

1．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．

2．(教材习题改编)设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是(

) A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β

B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β

C．若m⊥n，m⊥α，则n∥α

D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

解析：选B

对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错．

考点一

直线与平面垂直的判定与性质题点多变型考点——多角探明

[锁定考向]

直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．

常见的命题角度有

(1)证明直线与平面垂直；

(2)利用线面垂直的性质证明线线垂直．

[题点全练]

角度一：证明直线与平面垂直

1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥1CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，2PH为△PAD中AD边上的高．求证：

(1)PH⊥平面ABCD；

(2)EF⊥平面PAB．

证明：(1)因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB．

因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD．

因为AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD．

(2)如图，取PA的中点M，连接MD，ME．

因为E是PB的中点，

1所以ME綊AB．

21又因为DF綊AB，

2所以ME綊DF，

所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD．

因为PD＝AD，所以MD⊥PA．

因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB．

因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，

所以EF⊥平面PAB．

角度二：利用线面垂直的性质证明线线垂直

2．(2015·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1．设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．

求证：(1)DE∥平面AA1C1C；

(2)BC1⊥AB1．

证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC．

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C．

(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC．

因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1．

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，

BC⊂平面BCC1B1，

BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1．

又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC．

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C．

因为AC⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC．

又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．

[通法在握]

判定直线和平面垂直的4种方法

(1)利用判定定理；

(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；

(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；

(4)利用面面垂直的性质．

当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．