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第三章 导数及其应用章末复习

知识网络：

知识点一

导数与曲线的切线

利用导数的几何意义求切线方程

1.

求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；

2.

求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得

y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ①

又y1＝f(x1) ②

由①②求出x1，y1的值．

即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．

例1.已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；

(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；

(3)直线L为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线L的方程．

例2.已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．

知识点二

导数与函数的单调性

利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：

(1)求导数f′(x)；

(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；

(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．

例3.求函数f(x)＝x－2x的单调区间．

1例4.已知函数f(x)＝3x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0，试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间．

知识点三

导数与函数的极值、最值

1．应用导数求函数极值的一般步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)解方程f′(x)＝0的根；

(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．

若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；

若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；

否则，此根不是f(x)的极值点．

2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：

(1)求f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；

特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取

得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．

例5.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3)．

(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；

(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．

知识点四

导数与参数的范围

已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．

例6.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，求a的取值范围．

1例7 已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)

当堂训练

1.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(

) A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1 2.函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值(

) A.1

C.3

B.2 D.4 3.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是(

)

ax2－14.若函数f(x)＝x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是____________.

5.若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是(

) A．a＜1 B．a≤1 C．0＜a＜1 D．0＜a≤1 6.设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是________．

7.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在区间[0，t](0

(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．