2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课教案

学校：临清实验高中

学科：数学

编写人：贾红国

审稿人：邢玉兰

王桂强

2.3.2平面与平面垂直的判定

【教学目标】

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

【教学重难点】

重点：平面与平面垂直的判定。

难点：找出二面角的平面角。

【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。

（二）研探新知

1、二面角的有关概念

老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

角

A 边

顶点 O B 边

从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形

射线

—

点（顶点）一

射线

∠AOB 二面角

A β

棱

l

B α

从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

半平面

一

线（棱）一

半平面

二面角α-l-β或α-AB-β

图形

定义

构成

表示

2、二面角的度量

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：

（1）在表示二面角的平面角时，要求OA⊥L ，OB⊥L；

（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；

β

（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平

A

面的位置关系怎样？

α

承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，

O

B

[来源:学科网]

获得两个平面互相垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 图2.3-3 （三）实际应用,巩固深化

例1、（课本69页例3）设AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上的任意点，求证：面PAC ⊥面PBC. 变式：

课本P69的探究问题

例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。

说明：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BC⊥平面PAC和BD⊥平面PAC是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂直线面垂直面面垂直”转化途径进行．

变式. 课本P69的练习

（四）小结归纳，整体认识

（1）二面角以及平面角的有关概念；

（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？

（五）当堂检测

P81习题 2.3 A组

第4、6、7题, B组

第1题

【板书设计】

二面角的概念

两个平面垂直的定义

两个平面垂直的判定定理

三种形式描述

例1 例2 【作业布置】

导学案课后练习与提高

2.3.2平面与平面垂直的判定

课前预习学案

一、预习目标：（1）明确角的定义及推广。

（2）初步知道什么是二面角。

二、预习内容

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

问题3、二面角的有关概念

角

A

边

顶点 O B 边

[来源:Z#xx#k.Com]二面角

A β 棱

l

B α

图形

[来源:学&科&网Z&X&X&K]定义

构成

表示

从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形

射线

—

点（顶点）一

射线

∠AOB 问题4、二面角如何度量？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

一．学习目标

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

学***面与平面垂直的判定。

学习难点：找出二面角的平面角。

二、学习过程

（一）、二面角的平面角

1、

如何找出二面角的平面角？

2、二面角的平面角为

90说明了什么？

（二）、平面与平面垂直的判定定理（文字，符号及图形表示）

疑惑内容

（三）、定理的应用

例1（课本P69中的例3）

变式1、课本P69的探究问题

例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。

[来源:Z&xx&k.Com]

变式2、课本P69的练习

[来源:Zxxk.Com]

当堂达标测试

P81习题 2.3 A组

第4、6、7题, B组

第1题

课后练习与提高

1．过平面外两点且垂直于平面的平面 （ ）(A)有且只有一个 (B)不是一个便是两个 (C)有且仅有两个 (D)一个或无数个

2．若平面平面，直线n，m,mn，则 （ (A)n (B)n且m (C)m (D)n与m中至少有一个成立

）

3．对于直线m,n和平面,，的一个充分条件是 （ ）

(A)mn，m//,n// (B)mn,m,n

(C)m//n,n,m (D)mn,m,n

4．设l,m,n表示三条直线，,,表示三个平面，给出下列四个命题：

①若l,m，则l//m；②若m,n是l在内的射影，ml，则mn；

③若m,m//n，则n//；

④若,，则//．

其中真命题是

（ ）

(A)①②

(B)②③

(C)①③

(D)③④

5．如图正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1,B1C1的中点，

求证：平面MNF平面ENF。

DMC11A1EB1NDFABC6．如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，E为AB的中点，且PAAB，

（1）求证：平面PCE平面PCD （2）求点D到平面PCE的距离

参考答案

1、D2、D3、B4、A 5，6（略）