习题2.3优秀公开课教案

复习卷

一．选择题（共8小题）

1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（

）

A．MN∥PD

C．MN∥AD

B．MN∥PA

D．以上均有可能

2．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3

3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（

）

A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

B．两条直线不相交

D．任意一条直线不相交

4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（

）

第1页（共12页）

A．AG⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面

B．AH⊥△EFH

所在平面

D．HG⊥△AEF所在平面

5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折

成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC

其中正确的是（

）

A．①②④

B．①②③

C．②③④

D．①③④

6．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（

）

①面PAB⊥面PBC

②面PAB⊥面PAD

③面PAB⊥面PCD

④面PAB⊥面PAC．

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

7．如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB第2页（共12页）

＝BC＝CD＝1，则AD的长等于（

）

A．

B．

C．2

D．

8．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：

①异面直线SB与AC所成的角为90°．

②直线SB⊥平面ABC；

③平面SBC⊥平面SAC；

④点C到平面SAB的距离是a．

其中正确的个数是（

）

A．1

B．2

C．3

D．4

二．填空题（共22小题）

9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是

．

10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是3，点M、N分别是棱AB、AA1的中点，则异面直线MN与BC1所成的角是

．

11．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为

．

12．若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于

．

第3页（共12页）

313．用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是

cm．

14．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为

．

15．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是

．

16．有半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥，那么这个圆锥的高为

．

17．若一个球的体积为36π，则它的表面积为

．

18．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为

．

19．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是

．

20．圆柱的底面周长为5cm，高为2cm，则圆柱的侧面积为

cm．

2月末复习卷3

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（

）

A．MN∥PD

C．MN∥AD

B．MN∥PA

D．以上均有可能

【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，

MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，

由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．

故选：B．

2．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（

）

第4页（共12页）

A．0

B．1

C．2

D．3

【解答】解：由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面CB1D1；所以①正确．

由正方体的性质得

AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得：AC1⊥BD，所以②正确．

由正方体的性质得

BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1 ，所以③正确．

故选：D．

3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（

）

A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

B．两条直线不相交

D．任意一条直线不相交

【解答】解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点

∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点

从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交

故选：D．

4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（

）

第5页（共12页）

A．AG⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面

B．AH⊥△EFH

所在平面

D．HG⊥△AEF所在平面

【解答】解：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；

∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；

∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，

∴C不正确；

∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．

故选：B．

5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折

成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC

其中正确的是（

）

A．①②④

B．①②③

C．②③④

D．①③④

a，

【解答】解：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝①∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，

又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABD，

∴BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，

∴BD⊥AC，故①正确；

第6页（共12页）

②由A知，BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，

∴BD⊥CD，又BD＝CD＝∴由勾股定理得：BC＝•a，

a＝a，又AB＝AC＝a，

∴△ABC是等边三角形，故②正确；

③∵△ABC是等边三角形，DA＝DB＝DC，

∴三棱锥D﹣ABC是正三棱锥，故③正确．

④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，

∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，

由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；

综上所述，正确的结论是①②③．

故选：B．

6．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（

）

①面PAB⊥面PBC

②面PAB⊥面PAD

③面PAB⊥面PCD

④面PAB⊥面PAC．

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

【解答】证明：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，

易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，

第7页（共12页）

则平面PAD⊥平面PAB．

故选：A．

7．如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB＝BC＝CD＝1，则AD的长等于（

）

A．

B．

C．2

D．

【解答】解：∵直二面角α﹣l﹣β中，AB⊥BC，CD⊥BC，

∴∴|∴||＝||＝2＝0，+．

+2＝0，|＝2＝0，

2++2+2+2+2＝3，

故选：B．

8．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：

①异面直线SB与AC所成的角为90°．

②直线SB⊥平面ABC；

③平面SBC⊥平面SAC；

④点C到平面SAB的距离是a．

其中正确的个数是（

）

A．1

B．2

C．3

D．4

【解答】解：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；

再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；

第8页（共12页）

取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确，

故选：D．

二．填空题（共22小题）

9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是

．

【解答】解：分别以DA、DC、DD1、为x、y、z轴建立如图坐标系，设正方体的棱长为2，则

A1（2，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（2，1，0）

∴设＝（﹣2，0，﹣1），、的夹角为θ，则

＝（2，﹣1，﹣1）

cosθ＝＝＝

即异面直线A1E与GF所成角的余弦值是故答案为：

10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是3，点M、N分别是棱AB、AA1的中点，则异面直线MN与BC1所成的角是

．

【解答】解：如图，连接A1B，A1C1，

MN∥A1B，则∠A1BC1为直线MN与BC1所成的角

第9页（共12页）

棱长为3，则A1B＝A1C1＝BC1＝3，

∴三角形A1BC1为等边三角形则∠A1BC1为从而异面直线MN与BC1所成的角是故答案为．

11．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为【解答】解：∵设圆锥的母线长是l，底面半径为r，

母线与底面所成的角为∵侧面积是20π，

∴πrl＝20π，②

由①②解得：

r＝4，l＝5，故圆锥的高h＝2，则该圆锥的体积为

16π

．

，可得①

＝＝3

则该圆锥的体积为：×πr×3＝16π

故答案为：16π．

12．若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于

12πcm

．

【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，

∴圆锥的底面半径为3cm，

∴圆锥的体积＝×π×3×4＝12πcm．

故答案为：12πcm．

13．用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积是

第10页（共12页）

3233或

3cm．

【解答】解：∵侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，

若圆柱的底面周长为12cm，则底面半径R＝此时圆柱的体积V＝π•R•h＝2cm，h＝8cm，

cm3

cm，h＝12cm，

若圆柱的底面周长为8cm，则底面半径R＝此时圆柱的体积V＝π•R•h＝故答案为：或cm．

32cm．

314．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为

2π

．

【解答】解：根据题意，圆柱的底面半径r＝1，母线长l＝2r＝2

∴圆柱的体积为V＝Sl＝πrl＝π×1×2＝2π．

故答案为：2π．

15．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是

π

．

22【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

由题意知解得l＝2，r＝故答案为：π．

16．有半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥，那么这个圆锥的高为

【解答】解：半径为r的半圆弧长为πr，

圆锥的底面圆的周长为πr，

圆锥的底面半径为：

．

＝π，且•2πr•l＝2，所以圆锥高h＝π，

＝＝1，则体积V＝πrh＝π．

2所以圆锥的高：

故答案为：

17．若一个球的体积为36π，则它的表面积为

36π

．

【解答】解：因为球的体积为36π，所以球的半径：＝3，

第11页（共12页）

2球的表面积：4π×3＝36π，

故答案为：36π．

18．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为

【解答】解：设大球的半径为r，

则根据体积相同，可知即故答案为：．

．

，

．

19．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是

．

【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的

三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，

设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，

，a＝该正三棱锥的体积：故答案为：

2

20．圆柱的底面周长为5cm，高为2cm，则圆柱的侧面积为

10

cm．

【解答】解：∵圆柱的底面周长为5cm，高为2cm，

∴c＝5，l＝2，

∵圆柱的侧面积＝c×l，

∴圆柱的侧面积＝5×2＝10cm

故答案为：10

2第12页（共12页）