4.3.2 空间两点间的距离公式名师教学视频（文字实录）

4.3.2 空间两点间的距离公式

授课教师：颜翔（开平一中高一数学备课组）

（一）教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想

先推导特殊情况下空间两点间的距离公式

推导一般情况下的空间两点间的距离公式

3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。（三）教学设计教学环节

教学内容

在平面上任意两点A

(x1，y1)，B (x2，y2)之间的距离的公式为|AB| 师生互动

设计意图

通过类师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无复习=(x1x2)2(y1y2)2，那比，充分发挥关紧要。引入

学生的联想么对于空间中任意两点A

生：踊跃回答

能力。

(x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？

（2）空间中任间一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式师：为了验证一下同学们的猜想，我们来会是怎样呢？看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理从特殊的情概念来完成况入手，化解形成

学生：在教师的指导下作答得出|OP| 难度

=x2y2z2. 任何知识的猜想都师：注意引导类比平面直角坐标系中，方（3）如果|OP| 是定长r，那要建立在学22222概念程x + y = r表示的图形中，方程x + y = 么x2 + y2 + z2 = r2表示什么2生原有知识深化

r表示图形，让学生有种回归感。图形？

经验的基础生：猜想说出理由

上，学生可以通过类比在

1

平面直角系中，方程x2 + y2 = r2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。

（4）如果是空间中任间一点P1 (x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。人的认识是得出结论：从特殊情况|P1P2| =到一般情况的

(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；

（2）A(6，0，1)，B(3，5，7) 2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等. 3．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形. 4．如图，正方体OABD

–

D′A′B′C′的棱长为a，|AN| = 2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长. 教师引导学生作答

1．解析（1）6，图略

（2）70，图略

2．解：设点M的坐标是(0，0，z). 依题意，得

(01)20(z2)2= (01)2(03)2(z1)2.

解得z = –3. 培养学所求点M的坐标是(0，0，–3). 生直接利用3．证明：根据空间两点间距离公式，公式解决问得

题能力，进一步加深理解

|AB|(104)2(11)2(69)27

|BC|(42)2(14)2(93)27，

|AC|(102)2(14)2(63)298. 因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形. 4．解：由已知，得点N的坐标为

a2a(,,0)，

33

2

a2a点M的坐标为(,a,)，于是

33aa2a2a|MN|()2(a)2(0)233335a.3

课外习题4.3 A组3,B组1、2、练习

3. 学生独立完成

巩固深化所学知识

备选练习：

5.给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P,2)的距离为30。0(4,16.设P在x轴上，它到P1(0,2,3)的距离为到点P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P的坐标. 7.在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到点N（6，5，1）的距离最小。

8.三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.

9.

已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为__________. 10.已知三棱锥P—ABC(如图),PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与x轴所成的较小的角.

课堂小结

1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用. 3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.

设计感想

本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.

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