阅读与思考 笛卡儿与解析几何课堂实录【2】

《笛卡儿与解析几何》教学设计

越州中学

何淼雅

一、教材分析

“笛卡儿与解析几何”是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修二第三章中阅读与思考的内容。它的前面是直线与方程，后面是圆与方程，是夹在解析几何初步中直线和圆之间的部分。同时学生在必修一中已经学过了函数问题，对数形结合思想有一定的了解。因此，本节课的意图是要学生了解解析几何的产生的背景、过程及影响，理解解析几何的思想方法，同时要让学生意识到解析几何中的思想方法始终贯穿在整个高中阶段，在我们的学习以及科技发展中都是必不可少的。另外，本节课的内容也为学生学习后面的圆、圆锥曲线和极坐标以及大学所学的空间解析几何提供最基本的学习策略和解决问题的方向。

本节阅读材料“笛卡儿与解析几何”先分析了笛卡儿创建解析几何的背景和原因，然后简单叙述了笛卡儿创建解析几何的过程，最后说明了解析几何的意义和本质。因此本节课的设计安排是要让学生明确解析几何的来龙去脉，理解解析几何中数形结合的基本思想，体会解析几何创建的意义，知道学习解析几何的基本方法。另外这种设计还要让学生从系统、全面的角度去了解解析几何，感受笛卡儿在创建解析几何中所体现出来的精神品质。

由于本节阅读材料只是对解析几何进行了宏观、全面的描述，并没有突出解析几何基本的方法—坐标法的应用，因此，本节课又添加了两个具体问题进行探究，由此让学生体会解析几何方法的应用及代数与几何问题相互转化的过程。

二、学情分析

初中阶段学生已经学***面几何初步，主要是运用欧式几何的方法来研究平面几何图形的性质，但要研究一些比较复杂的曲线，仅从几何的角度已经不足以解决问题，这就为学习解析几何的合理性和必要性奠定了基础。

高一学生在高一上学期已经学习了函数与方程，掌握了借助函数零点来研究方程的解这种以形助数的方法，在此基础上学***面解析几何初步，要让学生掌握运用代数的方法研究几何图形的数助形的解析思想，因此，很有必要向学生介绍解析几何产生的背景以及重要意义，进一步让学生体会解析几何的思想。

三、教学目标

（1）了解伟大的数学家笛卡儿的生平简介和主要成就；

（2）了解笛卡儿创建解析几何的背景、过程以及意义；

（3）合作探究，理解解析几何的基本思想----数形结合，以及数学建模思想。

四、教学重点和难点

（1）重点：解析几何的创建过程以及基本思想方法；

（2）难点：理解解析几何的基本思想方法。

五、教学方法

课前布置任务，学生自主查阅资料；课上小组合作讨论、问题展示交流、自主探究分析，教师启发诱导、师生共同总结。

六、教学准备

课前给学生布置任务：阅读课本并网上查阅笛卡儿的生平简介、主要成就以及解析几何产生的背景、过程和意义。

七、教学过程

（一）问题引入

通过学生平时生活中的电视广告百岁山引入本节课的主人公笛卡儿，讲述笛卡儿与公主的故事，通过几何软件现场展示心形曲线，趣味引入激发学生兴趣。什么是解析几何？解析几何是由谁在什么样的背景下如何创立的？它的创立具有怎样划时代的意义？带着这些问题我们一起来学习今天这节课，走进笛卡儿的世界，了解笛卡儿与解析几何。

（二）新课探究

本节课采用问题导引，目标驱动式教学，课前给学生布置任务查阅相关资料，课上推选代表上台展示。

主要解决以下问题：

1、笛卡儿的生平简介及主要成就；2、解析几何创立的背景及过程；3、解析几何创立的意义及影响；4、解析几何的思想方法。

其中1---3均由各学习小组提前准备好相关资料并推选学生代表上台展示成果（相关资料请见素材），然后教师带领学生一起梳理总结：

我们一起来梳理一下以上内容：

通过第1组同学提供的资料我们了解了解析几何创始人之一-----笛卡儿的生平及主要成就，

发现笛卡儿的研究涉及多个领域，甚至开创了很多学科的崭新时代，虽然在数学方面只有一本公开发表的数学著作《几何学》，但这本著作却标志着代数与几何的第一次完美结合，笛卡儿也因此被称为“解析几何之父”。

从第2组同学的讲述中可以看出解析几何的产生一方面源于数学研究内部的需要，当时的几何学刻意追求抽象，而代数内容缺乏直观，需要新方法对几何、代数进行进一步的研究；另一方面由于当时的天文、航海、经济等发展迅猛，需要对曲线性质及新曲线进行研究，在这种内部外部的双重需要下，笛卡儿提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”，就这样，笛卡儿凭借坚持不懈的追求，甚至从梦中都能发现的灵感发明了坐标系这个起决定性作用的重要工具，在代数运算与几何图形之间架起了一座桥梁，实现了代数与几何的完美结合，解析几何也就由此而产生了。

第3组同学为我们讲述的是解析几何产生以后给科学发展史所带来的巨大影响。这个影响之巨大从恩格斯对笛卡儿的评价足以看出（带领学生一起看课本中恩格斯对笛卡儿的评价）：“数学中的转折点是笛卡儿的坐标法。有了坐标法，运动进入了数学；有了坐标法，辩证法进入了数学；有了坐标法，微分和积分也就立刻成为必要了。”

教师导导引：通过以上同学们的精彩展示，相信大家已经对笛卡儿的主要成就以及解析

几何产生的背景、过程和影响有了清晰的了解，那么，你认为在笛卡儿身上有哪些值得我们学习的优秀品质？（勤奋好学、坚持不懈、勇于探索、献身真理、贡献他人、敢于批判与创新等等）

回归课本，一起寻找笛卡儿探究世界的方法：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。解析几何：又叫坐标几何，指借助坐标系用代数的方法研究几何问题的性质的一门学科。

那什么是解析几何？解析几何的思想方法是什么？大家是不是理解了呢？我们通过下面的实际生活问题来感受一下解析几何的数学魅力吧！

探究1：为保护古城水乡河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝4/3.

(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

学生分组讨论初步方案后，请学生分享解决实际生活问题的思路，教师板书：把生活问题转化为数学问题，通过建立直角坐标系转化为几何问题，根据题目要求进而转化为直线、三角形知识等来探究这一古桥保护问题；然后利用智慧课堂平板推送给学生，分组作答，探究具体保护方案，设计新桥的长度，探究为使保护效果最好所要达到的圆形区域面积最大；接着学生拍照上传，学生上台分享思路与过程，并为其他同学答疑解惑。

探究

2：设a,b,c,dR，求证：对于任意p,qR，(a

m)2(bn)2(cm)2(dn)2(ac)2(bd)2

教师引导，学生观察此不等式，联想第三章刚刚学过的知识点，发现可以将代数问题转

化为几何问题，结合三角形边长关系，考虑等式的特殊性，进而来更快速简单的解决问题。

通过以上问题的处理让学生体会并共同归纳总结解析几何的思想方法：

所谓解析几何，就是借助坐标系这个重要的工具在代数运算和几何图形之间架起了一座桥梁，这样我们就可以借助代数运算来研究几何问题，反过来也可以借助几何图形来解决代数问题，所以，解析几何思想的伟大之处就在于它将几何和代数进行了完美的结合。

统一：几何问题代数化，代数问题几何化

；方法：

数形结合--以形助数，以数辅形。

（三）本课小结

学生归纳总结教师补充：

数形结合

----感受解析几何魅力；数学建模

----巧解实际生活问题。

（四）课后作业

1.请同学们运用现代信息技术画出笛卡儿心形曲线。

（与上课开头首尾呼应）

2.阅读《几何学》、《笛卡儿之梦》等著作探究解析几何的发展历程，写一篇解析几何的小论文。

3.有兴趣的同学可以继续查阅相关网站与书籍。

八、教学反思

本堂课特点如下：

一、本节课的编排是从笛卡儿生平介绍，及解析几何创立的背景、过程和意义出发，重点剖析了解析几何产生的过程，符合数学阅读材料的教学过程。

二、本节课作为阅读材料课，把情感的体验放在第一位，并在课堂中充分渗透了数学文化，让学生深刻感受到了数学的魅力，受到了意志、创新等品质的感染。

三、设计中增加两个具体探究活动，突出了解析几何的基本思想和基本方法，让学生深刻的认识到坐标法的优越，数形结合的重要，转化思想的不可少，把生活问题转化为数学问题，体现了数学建模思想，加强对数学核心素养的感知与培养。

四、以问题作引导，让学生小组合作，探究，思考，上台，展示，在小组合作交流讨论中，实现学生在“做中学，思中学”，而且整个课堂气氛非常活跃，不仅培养了自主学习，合作交流的意识，还强化了学生的主体地位，充分体现了“以人为本----让学生成为课堂的主人”的课改理念。