3.3.4 两条平行直线间的距离教案设计（一等奖）

同心县豫海回民中学

3.3.4 两条平行直线间的距离

（一）教学目标

1．知识与技能

在理解点到直线距离公式的基础上，熟练掌握两条平行直线间距离的求法.

2．过程和方法

会用点到直线距离公式和两条平行线间的距离公式求解平台平行线间的距离问题

3．情感和价值

认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.

（二）教学重点、难点

教学重点：点到直线的距离公式在求两条平行线间的距离中的应用.

教学难点：两条平行线间的距离公式的推导、理解与应用.

（三）教学方法

学导式

教学环节

教学内容

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐复习引入

步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离. 1．点到直线距离公式

点P (x0，y0)到直线l：概念形成

Ax + By + C = 0的距离为

d|Ax0By0C|A2B2师生互动

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？

设计意图

设置情境导入新课

（1）教师提出问题

通过这已知P (x0，y0)，直线l：Ax + By + 种转化，培C

= 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？

学生自由讨论

养学生“化归”的思想方法.

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推导过程

方案一：

设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为B(A≠0)，根据点斜式写出A（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.

把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.

方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，

由A1x1By0C0

AxByC020直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.

得x1By0CAx0C

,y2ABAx0By0C|

A所以|PR||x0x1||

AxBy0C|PS||y0y2||0|

B此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法. |RS|PR2PS2

A2B2|Ax0By0C|由三角形面|AB|积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.

所以d|Ax0By0C|A2B2

可证明，当A = 0时仍适用.

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.

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例1

求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离

解：d|3(1)2|32025

3学生分析求解，老师板书

通过这两道简例2

已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.

例2 解：设AB边上的高为h，则

单的例题，SVABC1|AB|h2使学生能

够进一步对点到直线的距离y3x1理解应用，

1331|AB|(31)2(13)222AB边上的高h就是点C到AB的应用举例

距离.

AB边所在直线方程为即x + y

– 4 = 0.

点C到x + y

– 4 = 0的距离为h

|104|5h，

1212155

因此，SABC2222能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 2．两平行线间的距离d

已知l1：Ax + By + C1 = 0 l2：Ax + By + C2 = 0 d|C1C2|AB22

教师提问：

进一能不能把两平行直线间距离转化步培养学为点到直线的距离呢？

生化归转学生交流后回答. 化的思想. 再写出推理过程

概念深化

证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为

d|Ax0By0C1|AB22. 又Ax0 + By0 + C2 = 0

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即Ax0 + By0= –C2，

∴d|C1C2|A2B2

例3

求两平行线

l1：2x + 3y

– 8 = 0 l2：2x + 3y

– 10 =0的距离. 解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是

开拓学生d|243010|2232213培养13

在教师的引导下，学生分析思路，思维，应用举例

再由学生上台板书. 解法二：直接由公式

学生解题能力. d|8(10)|2232213

13课堂练习：已知一直线被两平行线3x

+ 4y

–

7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.

小结：点到直线距离公式培养学生的推导过程，点到直线的距老师和学生共同总结——交流—归纳总结

离公式，能把求两平行线的—完善

距离转化为点到直线的距离知识网络. 公式. 课后作业

备选例题

例1

求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程. 布置作业：课时训练1 独立完成

巩固深化

能力，构建归纳、概括

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解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A、B两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y

– 1 = k(x + 2)即kx

–

y + 2k + 1 = 0. 由|k22k1|k12|3k2k1|k12，

1解得k = 0或k. 2故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点. 1若l∥AB且kAB，则l的方程为x + 2y = 0. 2若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y

– 1 = 0或x + 2y = 0. 例2

（1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0，1)对称的直线方程. （2）两平行直线3x + 4y

– 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C=0 由P点到两直线的距离相等，即

111622112|11C|22112，所以C = –38. 所求直线的方程为2x + 11y

– 38 = 0. （2）依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y

– 2 = 0的距离d1|C2|6282，

到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为d2|C3|6822

所以d1 = d2即|C2|6282|C3|6282，所以C1. 21即l的方程为：6x8y0. 2例3

等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3y

– 6 = 0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程. 【解析】已知BC的斜率为2，因为BC⊥AC

3

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33所以直线AC的斜率为，从而方程y2(x1)

22即3x

– 2y

– 7 = 0 又点A(1，–2)到直线BC：2x + 3y

– 6 = 0的距离为|AC|且|AC||BC|10131013，

. 2由于点B在直线2x + 3y

– 6 = 0上，可设B(a,2a)，

32|3a2(2a)7|103且点B到直线AC的距离为

22133(2)|13a11|10

31313633a1110或a1110，所以a或

3313136316324,)或B(,)

13131313所以所以B(16213(x1)或y2所以直线AB的方程为y26311324213(x1)

3113即x

– 5y

– 11 = 0或5x + y

– 3 = 0 所以AC的直线方程为：3x

– 2y

– 7 = 0 AB的直线方程为：x

– 5y

– 11 = 0或5x + y

– 3 = 0.