2.1.4 平面与平面之间的位置关系板书设计及意图

2.1.4平面与平面的位置关系（一）

教学目标

1.了解两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定方法以及面与面平行的性质定理，并灵活运用面面平行的判定、性质定理。

2.应用类比方法理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义，会求两个平行平面间的距离．

3.通过线线、线面、面面平行的转化，进一步理解等价转化思想在解决立体几何问题中的运用，并提高空间想象能力．

教学重点与难点

本节课的重点是面与面平行的判定、性质的理解及应用．难点是线线平行、线面平行、面面平行的灵活转化．

教学过程

一、新课引入

观察教室中的四周墙壁，这四个平面两两之间是什么关系？利用手中的两本书作为两个平面，摆一摆，两个平面具有哪几种位置关系？

工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的（即桌面与地面平行），你知道其中的奥秘吗？

二、数学建构

1、学习指引

研究三维空间中物体的位置关系是立体几何重要内容之一，以上问题涉及到两个平面之间的位置关系，你能够通过类比及转化，进一步研究两个平面之间的位置关系吗？

在前面我们已经通过直线与直线、直线与平面的公共点个数，可判断它们的位置关系，类比思考两个平面之间的位置关系有哪几种？

如何判断两个平面平行？

思考：

（1）、平面内有一条直线与平面平行，则//，对吗？

（2）、平面内有两条直线与平面平行，则//，对吗？

（3）、平面内有无数条直线与平面平行，则//，对吗？

（4）、平面内任意一条直线与平面平行，则//，对吗？

（5）、平面内有两条相交直线分别与平面平行，则//，对吗？

探究：判断两个平面平行的方法，还有哪些呢？

如果两个平面平行，那么

（1）、一个平面内的直线是否平行于另一个平面？

（2）、分别在两个平面内的两条直线是否平行？

回顾一下前面学习过的线线之间、线面之间距离的概念，思考两个平面在什么样的位置关系下，才会定义两平面之间的距离？学过本节后，你能否整理下在立几中有关“距离”的知识，并进行联系类比

2、知识梳理

（1）、两个平面互相平行的定义

如果两个平面没有 ，我们就说这两个平面互相平行. 如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个点的 ，我们说两平面相交

（2）、两个平面的位置关系

位置关系

公共点

符号表示

图形表示

（3）、两个平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a,b,abA//

a//,b//

两平面平行

没有公共点

//

两平面相交

有一条公共直线

a









a 



图形语言：

简记为：线面平行面面平行

（4）、两个平面平行的性质定理

A b a 

如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 //符号语言：aa//b

b图形语言：

a

b

证明：因为//, 所以a与b没有公共点 因而交线a、b也没有公共点，

又因为a、b都在平面内, 所以a∥b.

简记为：面面平行线线平行

（5）、面面距离

与两个平行平面 的直线,叫做这两个平行平面的公垂线. 它夹在这两个平行平面间的线段,叫做这两个平行平面的 . 由两个平行平面的公垂线都相等,我们把公垂线的长度叫做两个平行平面间的 三、数学应用

类型一 面面平行的判定

例1 如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行

（要求同学画出图形、写出已知、求证）

已知：如图所示，a,b,abA，





A b a

b，

a，a',b',a'b'A'，a//a',b//b'

A，

求证：//

☞ 分析：对于两个平面平行的判断，目前只有两个方法。一是面面平行的定义

；二是面面平行的判定定理。前者要说明两个平面没有公共点，但这不易做到。选择后者，即要证明平面内的两条相交直线a,b分别平行于平面，运用线面平行的判定定理，很容易得出这个结论。

a//a'

证明：aa//

a' 同理b//，又abA

所以，//

 点评

：本命题可以看作面面平行判定定理的推论；在今后判断面面平行时，此命题可以直接使用。

思考：垂直于同一直线的两个平面平行．

已知： ．求证：

总结

有了以上命题，同学们可以总结一下证明两平面平行的方法：

（1）利用定义证明；

（2）面面平行的判定定理：

（3）在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行

（4）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。

（5）平行于同一个平面的两个平面平行。//,////

类型二 面面平行的性质

例2 ．求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. l //,l,l已知：

求证：



☞ 分析要证l，只要证明l垂直与平面内的任意一条直线或某两条相交直线.



证明：设lA,在平面内任取一条直线b

因为点A不在平面内，所以点A与直线b可确定平面

设a

//aa//b blb

llaa 由于直线b是平面内的任意一条直线，所以l



点评

本题是面面平行性质定理的一个运用，正是如此，我们才有两个平行平面公垂线的概念，进而定义两平行平面之间的距离。当然，本命题也可看作面面平行的一个性质。

总结：事实上，两个平面平行的性质有五条：

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β。

（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。

（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。

（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等

（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行

 题型梳理 类型三 面面平行判定及性质的综合运用

例3 P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。

求证：平面A′B′C′∥平面ABC；

☞ 分析：证明两面面平行，一般情况转化通过线面平行或者线线平行来证。

 证明：取AB、BC的中点M、N，

PC'PA'2 则PMPN3平面ABC。

同理A′B′∥面ABC，

又A′B′A′C= A′

∴面A′B′C′∥面ABC.  点评

本题的证明方法，体现了转化思想，即证面面平行，可通过线线平行或者线面平行进行。

 变式 ：在例3的条件下，求S△A′B′C′∶S△ABC的值。

☞ 分析

该问题是上面例3问题进一步的追问，在上面产生了△A′B′C′，自然想到两个三角形的面积之比。而此类问题，一般会联想三角形的相似。



解答：面A'B'C'面PMNA'C'A'C'//MN

面ABC面PMNMNA'C'PA'2

所以，MNPN32211A'C'1

所以，ACMNACAC，即3323AC3''面A'B'C'//面ABCA'B'B'C'1

同理，ABBC3 ABC与ABC相似，所以有

'''SABCAC21()SAC9

ABC小结

：本题组既考察了面面平行的判断，又同时考察了面面平行性质的运用。在解决问题的过程中，我们看到立几问题的解决常常转化到同一个平面上来解决，即从三维空间向二维空间转化，这充分体现数学中的“化归思想”。

总结反思

 知识要点

空间两平面的位置关系（相交、平行）

两个平行平面的判定定理（线面平行面面平行）

两个平行平面的性质定理（面面平行线线平行）

两个平行平面的公垂线的概念，公垂线段的概念以及两个平行平面间的距离

 思想方法

用类比的思想去认识面面的位置关系（根据两个对象公共点的个数）

注意运用线线、线面、面面之间的平行关系相互转化，可以给我们明确解题方向。



反证法是立几证明中的常用方法，怎样将反证法用得“妙”、用得“巧”，还需要在实践中不断感悟。

注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化

 规律技法

面面平行的判定方法，教材中注重介绍了“面面平行的判定定理”，事实上，要证明两平面平行选择角度有多种，常用方法五种（见上）。

面面平行的性质运用，教材中注重介绍了“面面平行的性质定理”，事实上，两平面平行可得出常用五条性质（见上）。

说明：以上规律方法，给我们解题提供多种思路，只有在解决问题实践中，常反思、勤总结，才能做到游刃有余、事半功倍。

 细节注意

在运用面面平行的判定和性质定理时，要注意推理证明的严谨性，譬如运用判定定理证明面面平行，应该有以下条件：a,b,abA//，如果在证明书写过程中，忽a//,b//略了abA这个条件，其推理过程很不严谨。以上细节看似无关紧要，实则非常关键。

无论解题还是证明，一定要注意对文字语言、图形语言和符号语言进行相互转化和相互翻译，使三者之间相辅相成、相得益彰。



课后作业：

1．下列命题中正确的是 ．

①平行于同一直线的两平面平行； ②平行于同一平面的两平面平行；

③垂直于同一直线的两平面平行； ④与同一直线成等角的两平面平行．

2. 若//，a,b,则a与b的位置关系为 3. 下列命题中正确的是 ．

①经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；

②过平面外一点且平行于这个平面的所有直线，都在过该点且平行于这个平面的一个平面内；

③平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与平行或相交；

④夹在两平行平面之间的平行线段的长相等．

4．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC= ，②当S不在α、β之间时，SC= ．

５．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。

（要求：自己画出图形，并运用两种方法证明）