利用完全平方差公式进行因式分解课堂实录【2】

第四章

因式分解

1．因式分解

主备：常海荣

审核：八年级数学组

执教：常海荣

时间：2019.5.16 总体说明

因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．

本节是因式分解的第1小节，占一个课时，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用．

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．

学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．

二、教学任务分析

基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。因此，本课时的教学目标是：

知识与技能：

（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．

数学能力：

（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．

（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．

（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．

情感与态度：

让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：看谁算得快——看谁想得快——看谁算得准——学生讨论——反馈练习——学生反思．

第一环节

看谁算得快

活动内容：用简便方法计算：

7771362=

（1）999（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=

（3）992–1=

．

活动目的：如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算

法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．

注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式．

第二环节

看谁想得快

活动内容：993–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？

学生思考：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？

活动目的：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备．

注意事项：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．

第三环节

看谁算得准

活动内容：

计算下列式子：

（1）3x(x-1)=

；

（2）m(a+b+c)=

；

（3）（m+4）(m-4)=

；

（4）（y-3）2=

；

（5）a(a+1)(a-1)=

．

根据上面的算式填空：

（1）ma+mb+mc=

；

（2）3x2-3x=

；

（3）m2-16=

；

（4）a3-a=

；

（5）y2-6y+9=

．

活动目的：在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．

注意事项：由于整式的乘法运算是学生在七年级已经学习过的内容，因此，学生能很快得出第一组式子的结果，并能很快发现第一组式子与第二组式子之间的联系，从而得出第二组式子的结果．

第四环节

学生讨论

活动内容：

比较以下两种运算的联系与区别：

a(a+1)(a-1)= a3-a

a3-a= a(a+1)(a-1) 在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？

结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？

（1）a+b=b+a

（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(a–b)=a2–ab

（4）a2–2ab+b2=(a–b)2

活动目的：通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：

（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；

（2）分解因式的结果要以积的形式表示；

（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；

（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．

注意事项：学生通过讨论，能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别，基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实，后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成．

第五环节

反馈练习

活动内容：

三、看谁连得准

x2-y2

.

(x+1)2

9-25 x 2

y(x -y) x 2+2x+1

(3-5 x)(3+5 x) xy-y2

(x+y)(x-y) 四、下列哪些变形是因式分解，为什么？

（1）（a+3）(a -3)= a 2-9 （2）a 2-4=( a +2)( a -2) （3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1 （4）2πR+2πr=2π（R+r）

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：从学生的反馈情况来看，学生对因式分解意义的理解基本到位．

第六环节

学生反思

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？

活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的观点有一个初步认识．

巩固练习：课本第93页习题4.1第1，2，3题

思考题：课本第94页习题4.1第4题（给学有余力的同学做）

第四章

因式分解

2．提公因式法（一）

教学目标

（一

）

教学知识点

让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式

（二

）

能力训练要求

通过找公因式，培养学生的观察能力

（三

）

情感与价值观要求

在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯

教学重点

能观察出多项式的公因式，并根据分配率把公因式提出来

教学难点

让学生识别多项式的公因式

教学过程

本节课设计了七个教学环节：算一算——想一想——议一议——试一试——做一做——反馈练习——学生反思．

第一环节

算一算

活动内容：计算：（1）7771362

999学生回答：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？

活动目的：引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算（因数分解）这一特殊算法，使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握扫清障碍．

教学效果：学生对于利用乘法的分配律进行逆运算的方法很熟悉，能很快找到这个式子各项有的相同因数22，在提出公因数后，很快得出这一题的计算结果是7．

99第二环节

想一想

活动内容：多项式

ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式

x2+4x呢？多项式mb2+nb–b呢？

结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

活动目的：在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式．

教学效果：由于有了第一环节的铺垫，再从数过渡到式，学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式．

第三环节

议一议

活动内容：

多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？

结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．

活动目的：

由于第二环节提供的几个多项式比较简单，不能反映公因式的全部特征，而通过本环节中寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，则可很顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力

教学效果：

每一个多项式都由两部分组成：系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论．在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式．在学生具备初步的判断能力之后，应该将学生的能力进一步升华，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力．

第四环节

试一试

活动内容：

将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac

（2）x2+4x

（3）mb2+nb–b 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

活动目的：

让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．

教学效果：

由于有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用，学生能较快地从数的分解过

渡到字母的因式分解．

第五环节

做一做

活动内容：将下列多项式进行分解因式：

（1）3x+x3

（2）7x2–21x

（3）8a3b2–12ab3c+ab

（4）–24x3–12x2+28x 学生归纳：提取公因式的步骤：

（1）找公因式；

（2）提公因式．

易出现的问题：（1）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；

（2）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．

矫正对策：（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；

（2）如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；

（3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．

活动目的：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．

教学效果：第（1）（2）两小题是简单题，对学生的要求不高，学生能很快完成这两小题，但当多项式的项数多了，或首项出现负号时，部分同学会产生思维上的困难，此时，教师有必要引导学生分步进行分解：如，先将负号提出，然后再提取其它的公因式，并提醒学生在完成分解后，应再用整式的乘法进行逆向检查，查出错误予以纠正．

第六环节

反馈练习

活动内容：

1、找出下列各多项式的公因式：

（1）4x+8y

（2）am+an

（3）48mn–24m2n3

（4）a2b–2ab2+ab

2、将下列多项式进行分解因式：

（1）8x–72

（2）a2b–5ab

（3）4m3–8m2

（4）a2b–2ab2+ab

（5）–48mn–24m2n3

（6）–2x2y+4xy2–2xy 活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．

教学效果：从学生的反馈情况来看，学生对公因式概念的理解基本到位，提取公因式的方法与步骤基本掌握，但依然有部分同学出现第五环节中的问题，如对首项出现负号时不能正确处理，此时，需要老师进一步引导．

第七环节

学生反思

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？

活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的哲学观点有一个初步认识．

巩固练习：

课外作业：

3.公式法（二）

教学目标：

知识与技能：

（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；

（2）会用完全平方公式进行因式分解；

（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．

数学能力：

（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；

（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．

情感与态度：

通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．

教学过程:

本节课设计了六个教学环节：做一做——辨一辨——试一试——想一想——反馈练习——学生反思．

第一环节

做一做

活动内容：填空：

（1）（a+b）（a-b）

=

；（2）（a+b）2=

；

（3）（a–b）2=

；

根据上面式子填空：

（1）a2–b2=

；（2）a2–2ab+b2=

；

（3）a2+2ab+b2=

；

结

论：形如a2+2ab+b2

与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．

活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用．

注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．

第二环节

辨一辨

活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．

（1）x2–4y2

（2）x2+4xy–4y2

（3）4m2–6mn+9n2

（4）m2+6mn+9n2

结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解，

a2–2ab+b2=（a–b）2

a2+2ab+b2=（a+b）2

活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．

注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．

第三环节

试一试

活动内容：把下列各式因式分解：

（1）x2–4x+4

（2）9a2+6ab+b2 （3）m2–21m

（4）mn28mn16

39活动目的：（1）培养学生对平方差公式的应用能力；

（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．

注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．

第四环节

想一想

活动内容：

将下列各式因式分解：

（1）3ax2+6axy+3ay2

（2）–x2–4y2+4xy

活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．

注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解. 第五环节

反馈练习

活动内容：

1、判断正误：

（1）x2+y2=（x+y）2

(

) （2）x2–y2= (x–y)2

(

)

（3）x2–2xy–y2= (x–y)2

(

) （4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2

(

) 2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：

（1）x2–x+

（3）1

（2）9a2b2–3ab+1 412m3mn9n2

（4）x610x525

43、把下列各式因式分解：

（1）m2–12mn+36n2

（2）16a4+24a2b2+9b4

（3）–2xy–x2–y2

（4）4–12（x–y）+9（x–y)2

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：当完全平方公式中的a与b

表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．

第六环节

学生反思

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？

注意事项：学生认识到了以下事实：

（1）有公因式则先提取公因式；

（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；

（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

课后练习：课本第103页习题4.5第1、2、3题；

思考题：习题4.5第4题（给学有余力的同学做）

课外作业：

第四章

因式分解

●教学目标

（一）教学知识点

1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式. 2.熟悉本章的知识结构图. （二）能力训练要求

通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力. （三）情感与价值观要求

通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识. ●教学重点

复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. ●教学难点

利用分解因式进行计算及讨论. ●教学方法

引导学生自觉进行归纳总结. ●教具准备

投影片三张

第一张（记作§4.6 A）

第二张（记作§4.6 B）

第三张（记作§4.6 C）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. Ⅱ.新课讲解

（一）讨论推导本章知识结构图

［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些? ［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念. （2）分解因式与整式乘法的关系. （3）分解因式的方法. ［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）

［生］

（二）重点知识讲解

［师］下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. ［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）

把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式. ［师］学习因式分解的概念应注意以下几点:

（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? ［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形. 如:ma+mb+mc=m（a+b+c）

从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? ［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为: ma+mb+mc=m（a+b+c）

a2－b2=（a+b）（a－b）

22a±2ab+b=（a±b）2

4.例题讲解

投影片（§4.6 A）

［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由. （1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2 （2）6x2y3=3xy·2xy2

（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2 （4）4ab+2ac=2a（2b+c）

［师］分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是. ［生］解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法. （2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解. （3）不是因式分解,而是整式乘法. （4）是因式分解. 投影片（§4.6 B）

［例2］将下列各式分解因式. （1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;（2）－9ab+18a2b2－27a3b3; （3）112－x;

（4）9（x+y）2－4（x－y）2; 49（5）x4－25x2y2;

（6）4x2－20xy+25y2; （7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2. 投影片（§4.6 C）

［例3］把下列各式分解因式: （1）x7y3－x3y3;

（2）16x4－72x2y2+81y4; ［师］从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢? ［生］可以. 分解因式的一般步骤为: （1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式. （2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式. （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止. Ⅲ.课堂练习

1.把下列各式分解因式

（1）16a2－9b2;

（2）（x2+4）2－（x+3）2;

（3）－4a2－9b2+12ab;

（4）（x+y）2+25－10（x+y）

2.利用因式分解进行计算

（1）9x2+12xy+4y2,其中x=41ab2ab21,y=－;（2）（）－（）,其中a=－,b=2. 22832Ⅳ.课时小结

1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解. 2.利用因式分解简化某些计算. Ⅴ.课后作业

§4.6回顾与思考

一、1.讨论推导本章知识结构图

2.重点知识讲解

（1）举例说明什么是因式分解. （2）分解因式与整式乘法有什么关系? （3）分解因式常用的方法有哪些? （4）例题讲解

例1、例2、例3 （5）分解因式的一般步骤

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业