利用完全平方差公式进行因式分解教学设计及教案分析

第2课时

完全平方公式

一、教材分析：本课时内容是新北大版八年级数学下册第四章因式分解第三节中的第2课时。学生在学***方差公式因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方式因式分解，旨在让学生熟练的应对多种形式的多项式的因式分解，为下一章的分式的运算及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

二、学情分析：学生在七年级下册第一章中已学过完全平方公式，其公式逆运用是本节课所涉及的主体知识，对于公式的逆运用，学生已不是第一次接触了，在上一节课中学生已经历过了将平方差公式逆运用的过程，应该比较较熟悉了。通过上节课的学习，学生已积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与上节课基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行因式分解及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察，对比，讨论的方法，学生有较好的活动经验。

三、教学目标

知识与技能：完全平方式的推导与其应用

过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。

情感态度和价值观：在灵活运用完全平方式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。

四、教学重难点

重点：完全平方式的推导过程，结构特点，几何解释，灵活应用

难点：理解完全平方式的结构特征并灵活运用公式进行因式分解和相关计算。

五、教学环节

一、情境导入

1．分解因式：

(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；

2．根据学***方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？

二、合作探究

探究点一：用完全平方公式因式分解

【类型一】

判定能否利用完全平方公式分解因式

下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(

) 1(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋4；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16. A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a211－a＋4＝(a－2)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.

方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．

【类型二】

运用完全平方公式分解因式

因式分解：

(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；

(2)(a2＋4)2－16a2. 解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．

解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；

(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2. 方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．

探究点二：用完全平方公式因式分解的应用

【类型一】

运用因式分解进行简便运算

利用因式分解计算：

(1)342＋34×32＋162；

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. 解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．

解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100. 方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．

【类型二】

利用因式分解判定三角形的形状

已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．

解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．

方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．

【类型三】

整体代入求值

11

已知a＋b＝5，ab＝10，求2a3b＋a2b2＋2ab3的值．

111解析：将2a3b＋a2b2＋2ab3分解为2ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．

1111解：2a3b＋a2b2＋2ab3＝2ab(a2＋2ab＋b2)＝2ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝101时，原式＝2×10×52＝125. 方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．

三、板书设计

1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 2．完全平方公式的特点：

(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；

(2)有两个同号的平方项；

(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．

本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.