2.4 圆周角课堂实录及点评

课题：2.4圆周角（1）

学

案

学习目标：理解圆周角的概念，圆周角的性质的探究与运用，利用圆周角的性质解决问题。

学习过程：

一、自主学习指导：请阅读完课本P117P119的内容后，你能回答下列问题吗？

(1)你还记得圆心角的定义吗？画一画,说一说. 圆心角的度数与所对弧度数有何关系？想一想,说一说。

（设计意图：通过回忆圆心角的定义的方法，以便激发学生对圆周角定义的思考，达到温故知新的效果。）

（2）通过看书，你知道圆周角的定义吗？与圆心角相比较,圆周角具有什么特征？画一画，想一想。

（设计意图：利用对比的教学方法激发学生对圆周角本质特征的理解。）

二、自主学习反馈

(1) 你能利用圆周角的定义解决下列问题吗？

①下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）

ABCD

②图3中有几个圆周角？（ ）

③写出图4中的圆周角：___________ ____________ ___________ （设计意图：通过简单的识图比较，强化学生对圆周角特征的理解，做到及时反馈的作用。）

(2)在一个圆中，同一条弧对几个圆心角？对多少个圆周角？画一画，看一看。

（设计意图：从观察到动手操作，培养学生的动手能力，以便更好的理解圆周角的特征。）

（3）在同一个圆中，圆周角与圆心有几种位置关系？说说看，并把它分别画出来！

（设计意图：为圆周角的性质作好铺垫。）

（4）当圆心在圆周角边上时，猜想同弧所对的圆周角与圆心角大小上有何关系？你发现了什么规律？试用语言表达出来。

（设计意图：培养学生自主探究的能力，为后续学习作好准备。）

三、学习反思

我的收获

我的疑惑

我的评价

（设计意图：对照学习目标，反思自己还存在的问题，学会自我评价，培养自我反思能力）

教 案

教学目标：

1．知识与技能目标：；理解圆周角的概念，掌握圆周角的相关性质，并能运用相关性质解决有关问题；。

2．过程与方法目标：经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题。

3．情感与价值观目标：培养学生自主学习、勇于探究、勤于思考的良好学习品质；通过对问题的研究，体会数学来源于生活，又作用于生活的辩证唯物主义观点。

教学重点：理解圆周角的概念，利用圆周角的性质解决问题。

圆周角的性质的探究与运用

教学难点：

添加适当辅助线，探究证明圆周角性质。

教学方法：

利用多媒体展示相关图片，为学生提供丰富素材，激发学生学习兴趣。利用投影展示学生的交流成果，让学生享受成功喜悦。教学方法主要是通过自主探究，小组之间的协作交流，在互助中实现自我引导发现，在师生适当点评中，形成知识建构。利用课堂检测的练习法，促进知识的自我完善等。

教学过程：

一、情景设置

（师利用多媒体出示一张漂亮的泰山风景图）

师问：同学们，你们有登山的经历吗?记得“会当临绝顶，一览众山小”的诗句吗？表达了什么样的生活感受？

生答：有。杜甫的诗，表达站在山顶，视野开阔，看到远处的山就显的非常小了。

师问：为什么呢？

生答：人在登山的过程中位置在不断的变化，视野也在不断的变化，越来越开阔，当然看到的东西就越来越多，当然山就越来越小了。

设计说明：让学生充分感受到数学来源于生活，从而链接学生感性的生活经验，激发学生学习数学的兴趣。

二、引入课题

（师利用多媒体出示一张足球运动的图片）

师问：同学们，你们喜欢足球运动吗？你们知道进球的难易程度与哪些因素有关呢？

生答：喜欢。在足球射门游戏中除去个人球技、体力等因素外,球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角有密切的关系. 师说：这就是我们本节课学习的内容《圆周角》。在学习新课前，我们对同学们课前预习部分的内容，进行交流一下。

A B C 设计说明：从众多的生活问题中，找出与课题相关的具体问题，也是学生感兴趣的问

题出发，激发学生学习的欲望，为主题学习做铺垫。

三、课前预习交流

师问生1：你还记得圆心角的定义吗？想一想,说一说. 生答：顶点在圆心的角。

师问生2：圆心角的度数与所对弧度数有何关系？想一想,说一说。

生答：圆心角的度数等于所对弧的度数

师问生3：（师利用多媒体出示同弧所对圆心角与圆周角图片）通过看书，你知道圆周角的定义吗？与圆心角相比较,圆周角具有什么特征？想一想，说一说。

生答：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。像这种顶点在圆周上，且两边与圆相交的角叫圆周角。顶点的位置不同，边所在线不一样。

师问生：

同学们，你们能利用圆周角的定义解决下列问题吗？

①下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）

ABCD

②图3中有几个圆周角？（ ）

③写出图4中的圆周角：___________ ____________ ___________ 生答：B；C；∠CAB ∠ACB ∠CBA。

师问生4：在一个圆中，同一条弧对几个圆心角？对多少个圆周角？画一画，看一看。

（然后，教师让学生充分画图，然后展示学生画出圆周角的情况，展示学生画图成果。）

生答：一个；无数个。

师问生5：在同一个圆中，圆周角与圆心有几种位置关系？说说看，并把它分别画出来！

（教师展示学生课前画在预习案上的图形，与学生一同总结位置关系）

生答：圆周角与圆心的位置关系可归纳为：圆心在角的

一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部。

师问生6：如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、

∠BAC分别是弧BC所对的圆心角、圆周角，你能求出图中∠BAC的度数吗？

1生答：45°，60°，n°

2师问生7：通过刚才的计算，你能猜想同弧所对的圆周角与圆心角大小上有何关系？你发现了什么规律？试用语言表达出来。

生答：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半。

师总结：通过交流发现大家都很不错，做到了对书本知识的提前预习。那么你在预习的过程中还有哪些困惑呢？同学们，我们现在交流一下吧！

（让学生间互相交流学习中的感受，互相提出预习过程中的困惑，并在小组中逐渐形成共识，派出代表发言。）

生问师：老师我们对同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半这一结论有点怀疑，刚才计算的结论都是建立在圆心在圆周角边上时得出的，如果实在角内或角外时仍然成立吗？

师答生：这位同学的思考很深入，我们如何证明这个结论在圆周角内或圆周角内都成立呢？让我们一起思考与探索一下吧！

设计说明：通过师生交流，了解学生课前自主学习情况，反馈学生自主学习过程中出现的问题，从而实现及时交流，解决困惑，为主题学习了解学生的学情作准备。

四、

思考与探索

师问生1：如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系? 说说你的想法,并与同组同学交流. （学生进行热烈的探讨，并进过协商通过本组一致意见，派出代表回答问题。）

学生1答：当圆心在圆周角∠ABC的一边上时,试说明圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. 解析：∵∠AOC是△ABO的外角，

∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB，

∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 1即∠ABC = ∠AOC. 2学生2答：当圆心在圆周角∠ABC的内部时,第1问中圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的数量关系仍然成立。主要方法是将图（2）问题转化为图（1）的情况，利用第1问的结论来解决本问题。

解析：过点B作直径BD.由1可得: ∵∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 1∴∠ABD+∠CBD= (∠AOD+∠COD) 21∴∠ABC = ∠AOC. 2学生3答：当圆心在圆周角∠ABC的外部时,本题中的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的数量关系仍然成立。主要方法是将图（3）问题转化为图（1）的情况，利用第1问的结论来解决本问题。

解析：过点B作直径BD.由1可得: 11∵∠ABD = ∠AOD,∠CBD =∠COD, 2211∴∠ABD -∠CBD =∠AOD-∠COD, 221∴∠ABC =∠AOC. 2师问生：同学们，现在我们可以明确的知道了：在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之间的关系是什么？

生齐答：在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

师说：同学们！我们学会了同弧所对圆周角与它所对圆心角之间的数量关系，你能利用所学解决下面的问题吗？

设计说明：通过师生互动交流，实现数学思想的渗透教学。

五、

交流与展示

例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F；(1)比较∠BAC 与∠BDC的大小，并说明理由。

（学生讨论，并派出代表回答问题。）

学生1答：连接CF，

∵

∠BFC是△BFC的一个外角

∴

∠BFC > ∠BDC ∵

∠BAC = ∠BFC （同弧所对的圆周角相等）

∴

∠BAC > ∠BDC

(2)如果例1中，点D在圆内，试比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。

学生2答：延长BD交⊙O于点F，

连接CF，

∵

∠BDC是△DCF的一个外角

∴

∠BDC > ∠BFC ∵

∠BAC = ∠BFC （同弧所对的圆周角相等）

∴

∠BDC > ∠BAC 师说：我们学会了利用同弧所对圆周角与圆心角之间的数量关系来解决问题。那么你能利用学习的知识解决我们上课开始提出的问题吗？

设计说明：通过典型例题教学，实现感性的认识到理性认识过程，实现几何逻辑推理能力的形成。

六、迁移与应用

例2、在足球射门游戏中,如果球员射中球门的难易程度只与他所处的位置对球门的张角有关.请在如下图中指出哪些位置射中球门的机会最大？哪些位置射中球门的机会最小？哪些位置射中球门的机会相同？

（教师利用多媒体出示例题与图片，学生进行讨论，并积极准备派出代表进行回答。）

学生答：（1）连接EM、EM 、MA、NA、MB、 NB、MC、NC 、MF、NF，由例1的解题

的结论由图可知∠MEN ＞∠MAN =∠MBN=∠MCN ＞∠MFN，因为点E对球门MN的张角∠MEN最大，所以点E位置进球门的机会最大；

因为点F对球门MN的张角∠MFN最小，所以点F位置进球门的机会最小；

因为点A、点B、点 C对球门MN的张角∠MAN 、∠MBN、∠MCN相等，所以点A、B、C位置进球门的机会相同。

师说：这位同学说的很好，既学会本节课的知识，还能灵活的应用例1的结论解决了这样的问题。学的实在，用的灵活！

（同学们，一起鼓掌！）

设计说明：与课前问题遥相呼应，实现问题的解决。让学生感受到，学习的目的就是为了解决问题，从而使学的的知识体现生活的价值。

七、

小结与思考

师说：同学们！进过这节课的学习，你学会了哪些知识？

生1答：同弧所对圆周角与圆心角的关系。

生2答：利用圆心角与圆周角之间的数量关系来解决实际问题。

生3答：证明圆周角与圆心角之间数量关系都要借助

师说：同学们学得很好！下面我们做些巩固练习！

设计说明：让学生主动感受课堂的自我主题意识，促进学习主动性的形成。

八、教学反思

经过精心设计的教学设计，本节课的实际教学效果显著。在我看来主要成功之处在于：第一、情景设置再现了数学学习与生活的关系，引发了学生积极热情的参与欲望。第二、课本的拓展与应用环节，利用所学解决了情景设置中的生活问题，做到了学以致用，同时做到了与情景设置中的生活问题首尾呼应，使课堂结构完整而丰满。第三、课前预习的师生交流，凸显了学生自主学习的效能，课堂中互动探究体现了学生勇于探究，乐于探究的学习品质。第四、数学思想的渗透，做到不生硬，自然流畅。

不足之处在于：对于学困生要更加爱护与关心，使他们在课堂交流中能有一席之地，使他们充满自信。

九、设计说明：

1.本节课在苏教版九年级上册第五章《中心对称图形（二）》第三节内容。

2.本节课以“问题”贯穿课堂。本节课的设计，是在连云港市强力推进“三案六环节”课堂教学模式下，倡导学生进行自主学习，自主探究为培养目的的一节研讨课。本设计把“问题”贯穿于教学的始终，运用“提出问题——探究问题——解决问题”的教学方式，让学生体会发现结论和证明结论的乐趣，使学生在长知识的同时，也长智慧、长能力以及培养良好的思维品质。

3.让“数学思想”渗透于课堂教学之中。本设计引导学生运用“转化”思想，将圆心在圆周角内或外转化成圆心在圆周角边上这一特殊位置关系，利用其特殊的数量关系，来证明其结论的正确性。在以其“特殊性”的结论，来解决“一般性”实际问题。在“运动”的过程中，感受数学问题中“运动”与“静止”的关系，从而理解同弧所对的圆周角相等这一重要结论。

巩

固

案

一、知识巩固

A组：（必做题）

1、求圆中的角α的度数。如图（1）中∠BOC=70°，则∠α=_____ ；如图

⑵中∠DAC=100°，则∠

α=______。

2、如图（3）中，已知∠ACB = 20º，则∠AOB = _____，

∠OAB ＝

. 3、如图（4）中，已知圆心角∠AOB=100°，则∠ACB = _______。

（设计意图：能对圆周角的性质进行简单直接的应用。）

B组：（选做题）

如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.

（设计意图：让学生能过利用圆周角性质解决综合问题，培养学生逻辑推理能力。）

设计说明：实现知识的巩固与有序形成。

附答案：

1、⑴35°，⑵160°

2、40°，70°

3、130°

4、略。