24.1 圆名师教学视频（文字实录）

24.2.2.直线与圆的位置关系（2）

教学目标：

知识技能：1.通过动手操作，经历圆的切线的判定与性质产生过程，并帮助理解与记忆；

2.能够综合运用切线的判定方法与性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力

数学方法：在探索圆的切线的判定定理与性质定理的过程中，体验“观察-猜想-论证-归纳”的数学研究方法。

问题解决：通过学生自己探究（猜想、类比、演绎）的过程，让学生发现切线的判定定理与性质，并说明方法的理论依据。

情感态度：培养学生的观察能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学的转化思想，培养学生学习主动性和积极性. 教学重点：圆的切线的判定定理和性质定理

教学难点：定理的运用中，辅助线的添加方法.

教学过程：

一、回顾与思考

投影出示下图，学生根据图形，回答以下问题：1．直线和圆有哪些位置关系？

2．如何判断直线和圆相切？

学生答：①只有一个公共点②圆心到直线的距离等于半径

教师指出：根据切线的定义可以判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定方法.（板书课题）

二、探索判定定理

问题3：已知⊙O,求作一条直线与⊙O相切

1、学生动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作直线l⊥OA . 思考：（可与同伴交流）

（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？ （2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？

（3）由此你发现了什么？

启发学生得出结论：由于圆心O到直线l 的距离等于圆的半径，因此直线l 一定与圆相切.

请学生回顾作图过程，切线l 是如何作出来的？它满足哪些条件？

①经过半径的外端；②垂直于这条半径. 从而得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

小结：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端

②垂直于这条半径. 小结：过圆上一点作圆的切线分两步：①连结该点与圆心得半径；②过该点作已连半径的垂线.过圆上一点画圆的切线有且只有一条.

三、应用定理，强化训练

例1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线.

分析：欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上一点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端点，因此只要证明OC⊥AB，因为OA=OB，CA=CB，易证OC⊥AB. 学生口述，教师板书

证明：连结OC，

∵OA=OB，CA=CB

∴OC⊥AB（等腰三角形三线合一性质）

∴直线AB是⊙O的切线.

例2 如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O. 求证：直线AB是⊙O的切线.

（由学生上来板书）

完成以上两个例题后，让学生思考：以上两例辅助线的添加法是否相同？有什么规律吗？

在学生回答的基础上，师生一起归纳出一下规律：

（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直. （2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.

三．探索性质定理

问题4.如把判定中的题设与结论交换又能得到什么命题，并证明。

A

EB

OC

已知直线l是⊙O切线，切点为A，那么半径OA与直线l垂直吗？

教师巡视，个别辅导.用投屏展示学生的练习

假设OA与l不垂直

过点O作OM ⊥

l,垂足为M 则即圆心O到直线l的距离小于半径OA，

OM＜OA ∴直线l与⊙O相交，

这与直线l是⊙O的切线矛盾。

∴假设不成立

因此，OA与直线l垂直。

学生总结，老师补充

切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径

O M A l

变式应用：

.1.已知:三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF. (1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件

(只需写出三种情况)①___________ ②_____________ ③______________. (2)图乙, AB为非直径的弦，∠CAE=∠B.求证:EF是⊙O的

切线. BAEOBCAOCEa

四．小结：

切线的性质：

１、切线和圆只有一个公共点。

２、圆心到切线的距离等于半径。

３、切线垂直于过切点的半径。

切线的判定定理：

b

1、和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。

2、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

思路：1.有公共点,连半径,证垂直.

2.无公共点,作垂直,证半径.