小结与思考特级教师教学实录

顾山中学初二数学期末复习（四）-反比例函数 班级______姓名________ 复习目标：

1.理解并掌握反比例函数的概念。 2.能判定一个给定的函数是否为反比例函数；

3.会用待定系数法求反比例函数的解析式； 4.会用描点法画出反比例函数的图像，结合图像分析并掌握反比例函数的性质；5.会运用这些性质分析和解决一些简单的实际问题及综合性问题。（如“k值”与面积的问题；用坐标解决面积问题的策略。）

学习过程：

【知识点 1】反比例函数的概念

k(k0)可以写成ykx1(k0)或xyk(k0)的形式，注意自变量x的指数x为-1 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k0这一限制条件；

k2．y(k0)也可以写成xyk(k0)的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析x1．y式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量x0，故函数图象与x轴、y轴无交点．

【基础练习】

【例1】．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）．

A．y=3x

B．

C．3xy=1

D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）．

A．

B．

C．

D．【知识点 2】反比例函数的图像与性质

1.图象的形状：双曲线．k越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．k越小，图象的弯曲度越大；

2.性质：当k0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

3．对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（线的另一支上；图象关于直线和（，）也在双曲线上．

，）在双曲对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）4．k的几何意义

【基础练习】

【例2】（1）已知函数是反比例函数，

①若它的图象在第二、四象限内，那么k= ②若y随x的增大而减小，那么k= （2）一次函数y=ax+b图象经过第一、二、四象限，则函数y

1 ab的图象位于第 象限．

x

（3）若反比例函数y第 象限．

k经过点（x，2），则一次函数的图象一定不经过

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数ya的图象上，则直线x不经过的象限是（ ）．

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

（5）已知函数yk(x1)和y（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

kx

A．

B．

C．

D．

【例3】．函数的增减性

（1）在反比例函数y

k(k0)的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，且x1x20，则x．

A．正数；B．负数；

C．非正数；

D．非负数。

y1y2的值为（

）11a21(a为常数）的图象上有三个点(1,y1),(,y2),(,y3)，则函（2）在函数y42x数值y1,y2,y3的大小关系是（

）．

A．＜＜；B．＜＜；C．＜＜；D．＜＜

（3）下列四个函数中：①y5x；②y5x；③y55；④y．y随x的增大xx而减小的函数有（

）．

A．0个；

B．1个

；

C．2个

；

D．3个。

（4）已知反比例函数yk的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，x这个反比例函数的函数值y随x的增大而

。（填“增大”或“减小”）．

【例4】．解析式的确定（待定系数法）

（1）若y与11成反比例，x与成正比例，则y是z的（

）．

xzk的图象有一个交点为

（2，m），则m=_____，x

A．正比例函数；

B．反比例函数；

C．一次函数；

D．不能确定

（2）若正比例函数y=2x与反比例函数yk=________，它们的另一个交点为________．

2

mm2（3）已知反比例函数y的图象经过点（-2，-8），反比例函数y的图象在第二、xx四象限，求

的值．

（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数ym1（x）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．

【例5】．反比例函数中k的几何意义

（1）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，

点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为

. 【例6】．面积计算：

（1）如图，在函数yk的图象上，

x3的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作x垂线，过每一点所作的两条垂线段与x、y轴围成的矩形的面积分别为s1,s2,s3，则（

）．

A．S1S2S3；

B．S1S2S3；

C．S1S3S2；

D．S1S3S2

第（1）题图

第（2）题图

第（3）题图

第（4）题图

（2）如图，A、B是函数y1的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，x△ABC的面积S，则（

）．

A．S=1；

B．1＜S＜2；

C．S=2；

D．S＞2。

（3）已知函数y4的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，x过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴C

矩形的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，则C矩形OQPR

（

O

Q

2

P

（用不等号连接）

2R2111（4）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数y1的图象相交于A、C两点，过CAx作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

3

（5）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线yAB⊥ x轴于B且S△ ABO=k与直线yxk1在第四象限的交点，x3．

2①求这两个函数的解析式；

②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

（6）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数ykk（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数y（k＞0，xxx＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．

①

求B点坐标和k的值；②

当S关系式．

【例7】．综合应用：

（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数y9时，求点P的坐标；③

写出S关于m的函数2k2（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，xm的图象交于A、B两点：A（-2，x则k1和k2（

）．A．互为倒数；

B．符号相同；

C．绝对值相等；

D．符号相反。

（2）如图，一次函数ykxb的图象与反比例数y1），B（1，n）．①

求反比例函数和一次函数的解析式；②

根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

（3）如图所示，已知一次函数ykxb（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数ym（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，x若OA=OB=OD=1．①

求点A、B、D的坐标；②

求一次函数和反比例函数的解析式．

4

（4）如图，一次函数yaxb的图象与反比例函数yk的图象交于第一象限C、D两x点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．

①

利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；

②

双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？

若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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