9.1 图形的旋转第二课时教案

图形的旋转——“半角”模型教学设计

成都市龙泉驿区双槐中学校

李富林

一、问题分析

1.从中考题目层面分析

数学中考图形的旋转是关于几何综合的压轴题，分值为10分，问题设置为3个小问。本题的问题设置层层递进，前后的关联性比较强。由于本题的图形比较复杂，几乎涉及了初中阶段的所有几何知识，对学生的综合能力要求也非常高，因此，学生本题得分率一般不超过0.2，特别是在解决第二问和第三问时，存在非常大的困难，学生的畏难情绪很大。

2.从知识层面分析

图形的变换是以平移、旋转、轴对称三大几何变换为主线，综合了初中几何的图形初步、相交线与平行线、三角形、全等三角形、相似三角形、勾股定理、平行四边形、圆等章节的概念、公理、定理等知识结构。

3.从知识层面分析

图形的变换是重点考察学生的逻辑思维能力和解决图形的能力。此题没有固定题型和固定解法，主要考察重要模型的建立、常见思路的总结。其核心要素是：学生要善于从综合复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系。

图形的变换是需要运用观察、分析、综合

、猜想、证明等多种思维方法，对概念、定理、基本图形、辅助线的构造方法理解透彻，本题的探究活动才能顺利展开。

二、学情分析

1.从心理层面分析

图形的变换是中考几何压轴题，几何压轴题对综合知识和综合能力的要求极高，对学生是一种挑战。学生存在心理恐惧。

2.从知识层面分析

图形的变换基本含盖了初中所有几何知识，初中几何概念多、定理多、方法多。在中考复习中，要梳理、掌握并熟练应用这些几何知识会很难，在解此题时，遗忘或疏漏某个知识点，整个题就很难做出来。

3.从能力层面分析

图形的变换是需要抽象的思维能力，逻辑推理与判断能力，空间想象能力，数学建模能力，数学运算能力，数学语言与符号表达能力。如果没有这些能力，图形的变换的

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二三个问很难下手，往往因模型思想的缺失作不出辅助线，因计算能力和表达能力的不足很难将题解正确。

三、策略分析

基于对问题和学情分析，图形的变换对于学生来说的确很难。作为老师，如何有效进行图形的变换复习，让学生建立有效的几何方法，我们应该从以下几个方面入手：一是注意观察、分析基本图形，通过添加辅助线补全或构建基本图形；二是掌握常规的证明方法和思路；三是运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程思想解决计算问题。

（一）思维导引流程图

在图形的变换的教学中，基本图形是核心，模型构建是关键，思想方法是导向，能力培养是宗旨。基于此，在全体教研组老师的共同研究下，我们梳理出了几何变换综合题的解题思路的基本模型。

在图形的变换的教学中，基本图形是核心，模型构建是关键，思想方法是导向，能力培养是宗旨。基于此，在全体教研组老师的共同研究下，我们梳理出了几何变换综合题的解题思路的基本模型。

几何主要有三种变换：平移、旋转和轴对称，平移变换模型主要是全等型，对称变换主要是将军饮马模型（即最短距离模型）。经研究，近三年中考图形的变换的图形变换主要是旋转模型，旋转模型是通过对旋转变换的基本模型——再造模型变换，从而构

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建思想方法、形成解题思路、培养学生分析问题、解决问题的能力。经研究发现，旋转变换主要有五种模型。通过旋转变换的研究，建立了分离图形的思想，从而从复杂图形中找出我们常见的基本图形变换，构建辅助线进行解题。下面，我们一起来认识这五种常见的旋转变换模型。

近三年图形的变换的图形变换都是旋转，旋转变换还是近几年全国中考几何综合题的热门考点，通过对旋转变换的分析，经研究发现主要有以上五种旋转变换类型，通过旋转变换的研究，建立了分离图形的思想，从而从复杂图形中找出我们常见的基本图形变换，构建辅助线进行解题。下面，我们一一来介绍这五种常见的旋转变换。

（二）五种常见旋转变换模型

1.旋转变换全等型

条件：△OAB，△OCD均为等边三角形

结论：（1）△OAC≌△OBD，（2）∠AEB=60°

（3）OE平分∠AED 图形变换：基本图形可以变为等腰直角三角形和等腰三角形。

2.旋转变换相似型

条件：CD∥AB，将△OCD旋转到右图位置

结论：（1）△OCD∽△OAB；（2）延长AC交BD于D，则有∠BEC=∠BOA 图形变换：基本图形可以变为顶角为90°。

3.旋转变换半角型

条件:（1）正方形ABCD；（2））∠EAF=45°

结论：（1）EF=DF+BE；（2）△CEF的周长是正方形ABCD 的一半；（3）其逆命题也成立。

图形变换：图形可以由正方形变换成等腰直角三角形，

120°的等腰三解形，正三角形和某些特殊角的三角形。

4.旋转变换对角互补型

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条件：（1）∠AOB=

∠DCE=90°；

（2）OC平分∠AOB 结论：（1）CD=CE；（2）OD+OE=√2OC；

(3)SODCE=S△OCD+S△OCE=1/2OC2

图形变换：对角互补且具有2倍角的关系；任意角的关系。

5.旋转变换倍长中线型

条件：（1）梯形ABCD；（2）F是腰DE的中点

结论：S梯形ABCD=S△ABH

图形变换：梯形变为平行四边形。

通过以上基本模型分析，在解题中，将复杂的几何变换的综合题，转换为基本的模型，从而找到作辅助线的方法来构建新的基本图形，打开解决问题的通道，从而化繁为简，解答较难的几何综合题。下面，我将以半角模型为例，为大家解答如何化繁为简来解几何综合题。

四、模型解题案例分析

图形的旋转——“半角”模型的构建与几何综合应用

（一）课前导练，知识储备

如图，△ABC逆时针旋转45°得到△A’B’C’

你能得到哪些结论？

师生活动：师：演示旋转图形变换，引导学生回顾旋转相关的知识；回顾旋转相关的知识。

媒体应用：PPT动画演示。

设计意图：通过对旋转图形的回顾，为本节课的学习形成知识的铺垫。尤其是旋转前面对应角相等、对应边相等，对应图形全等，为本节课的学习非常有用。

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（一）中考再现，挑战极限

（2017年武汉）如图,在△ABC中,AB=AC=23,∠BAC=120∘,点D. E都在边BC上,∠DAE=60∘.若BD=2CE，则DE的长为___.

师生活动：生：学生独立完成；师：巡视学生解答情况，统计学生做题情况。

媒体应用：PPT展示题目

设计意图：这是2017年武汉中考题，以中考题为例，让学生挑战中考最高难度的试题，此题以我们的学生为例，没有学生有解题思路，更难说具有模型思想，以此题为例：一是检验学生是否具有模型思想解题能力，二是引发学生认知冲突，为模型思想解题作铺垫，从而激发学生的求知欲。那么，我们又如何建立模型思想为学生搭建桥梁，培养学生综合解题能力呢？

（二）再现经典，建立模型

如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，若∠EAF＝45°，求证：EF=DF+BE。

分析1：利用旋转构造全等

1.把△ABE绕点A逆时针旋转90°，

得到ADE',则C,D，E'共线；

2.易证△AEF≌AE’F 3.EFE'FFDE'DFDBE

分析2：利用轴对称变换构造全等

1.作点B关于AE得对称点B'，则△ABE≌AB'E

2.易证△ADF≌AB'F，且E，B',F共线

3.EF=FB'+EB'=FD+BE 总结结论：得出半角模型的概念

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模型1：正方形中的半角模型

特征：从正方形顶点出发的两条线所夹角是正方形内角的一半；

方法：1.把半角一侧的三角形，通过旋转变换或轴对称变换构造新的全等三角形来转换边和角，以此探究新的边边关系；

2.截长补短，勾股定理等

师生活动：师生共同合作，分析图形变换，构建初步模型，建立解题方法。

媒体应用：PPT展示；几何画板演示；平板拍照上传。

设计意图：这是一个常见的几何模型，其条件是内含45°角的正方形，证明DE、EF、DF三边关系。此模型将利用旋转或轴对称构造新的全等，再通过转换边角得出结论。通过证明探究过程，引出半角模型。特征：从正方形顶点出发的两条线所夹角是正方形内角的一半；

方法：把半角一侧的三角形，通过旋转变换或轴对称变换构造新的全等三角形来转换边和角，以此探究新的边边关系；

（三）改变图形，再造模型

再造模型1：正方形中的半角模型

如图，正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD的延长线上且∠EAF=45°，则BE,FD,EF又有怎样的关系呢？

1.把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABF＇；

２．易证△AEF≌AEF’；

３.BE＝BF'F'EFDEF

师生活动：

师：改变图形，继续引导学生探究图形变换，体会半角模型中的变。

生：通过图形改变，继续深入探究方法，从而体会图形变换中不变，训练图感。

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媒体应用：几何画板；PPT课件；平板互动。

设计意图：根据中考27题层层递进、前后关联出题规律，一、二问之间通过图形变换互通关系。下面我们改变图形，将点E,F分别在BC,CD的延长线上，让学生继续研究和认识半角模型及其变化变换特征。此探究可以用上面模型的探究方法找到结论。

如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点M,N在BC上，且∠MAN＝450，试探究线段BM,MN,NC之间的数量关系。

结论：MN２＝BM２＋NC２

师生活动：

师：教师分离图形，从正方形——等腰直角三角形，引导学生进一步进行探究。生：类比前面两种半角模型的探究方式，寻找半角模型在等腰Rt三角形中的规律。

媒体应用：几何画板；PPT课件；平板翻转。

设计意图：我们再对图形变换，连接BD，将图形分离，使半角模型建立在等腰Rt三角形中，继续用半角模型研究BM、MN、NC的三边关系。我们仍然将前面研究的旋转方法，通过旋转转换思想，将三边转换到△M’CN中，再利用半角的变换，得到∠M’CN是底角的2倍，即为90°，找到Rt△M’CN，从而得出大概三边之间的关系。从正方形半角模型——直角三角形半角模型，逐步体会从特殊到一般的数学思想。

0（600）再造模型3：120的等腰三角形半角模型

如图，在△ABC中，AB=AC，且∠BAC＝1200，点M,N在BC上，且∠MAN＝600

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师生活动：

师：继续图形变换，从等腰直角三角形的半角——1200的等腰三角形的半角模型——正三角形有半角模型，引导学生进一步的探究，形成半角模型研究和解题方法。

生：从图形的多种变换，认清图形变换从的变与不变，形成研究半角模型的基本原理，掌握基本，形成基本解题思路，为半角模型几何变换综合题的解题作好铺垫。

媒体应用：几何画板；PPT课件；平板互动。

设计意图：我们继续改造图形，把等腰直角三角形变换为120°的等腰三角形，同样可以将三边关系转换到△M’CN中，再用2倍角关系得到∠M’CN=60°，从而引导学生作垂线段构造直角三角形，再利用三角函数、勾股定理等，建立方程或函数解三边关系。

半角模型解题方法总结：通过以上对半角模型的研究，让学生深刻体会到图形变换中的不变的本质，变：图形变换，不变：模型思想、转换方法等。抓住不变规律是解题之根本。

（四）模型应用，解答疑惑 （2017年武汉）如图,在△ABC中,AB=AC=23,∠BAC=120∘,点D. E都在边BC上,∠DAE=60∘.若BD=2CE，则DE的长为___.

师生活动：

生：用半角探究思路、模型结论、思想方法、解题技巧，再次解解答的中考难题。

师：引导学生运用模型思想，建议方法，解答疑惑。

媒体应用：PPT课件展示；平板互动。

设计意图：有了以上模型思想和方法的建立，也为了验证模型思想在解题应用中的效果，得到化繁为简、增强解题信心的效果，我让学生再解2017年武汉中考题，学生

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很快就会找到解决此题的思路，通过此题可以增加学生信心，消除对几何综合题的恐惧心理。 （五）举一反三，应用模型

1.（2017年黄埔区二模试题）已知：Rt△ABC斜边AB上点D,E,满足∠DCE=45∘. (1)如图1,当AC=1,BC=√3，且点D与A重合时，求线段BE的长；

(2)如图2,当△ABC是等腰直角三角形时,求证：AD2+BE2=DE2；

(3)如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域。

师生活动：

师：快速引导学生利用熟悉的模型解决一、二个问，并引导学生用半角模型思想和和探究方法解决第三个问。

生：从半角模型研究方法中，以不变应万变，继续深入研究半角模型，从而将模型思想转化为自己分析问题、解决问题的能力。

媒体应用：PPT展示；平板互动。

设计意图：为了再次激发学生的认识冲突，达到做一题、通一法、会一类的目的，我们再来看一道几何综合中考题，此题在第三问中再次对图形改造，将等腰直角三角改造成任意直角三角形，再利用半角模型进行研究，此小问由于两直角边不等，我们无法将三边转换到一个三角形中，但是有了前面构造直角三角形的思想，我们可以再用作辅助的方法构造Rt三角形，再根据新的边边关系用勾股定理建立函数关系解答此题。从等腰三角形——不等腰三角形，进一步体会从特殊到一般的数学思想。再次感悟半角模型中以不变迎万变的解题思路。

(六）应用模型，自主创新（自编试题）

已知，△ABC中，AB=AC，

（1）如图1，∠BAC=150∘，∠DAE=75∘，BD=6，DE:EC=2:1，求EC的长；

（2）如图2，∠DAE=1/2∠BAC，D是BE的中点，∠AED=67.5∘，求∠BAC的度数。

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师生活动：师生共同合作，完成构图，并赋数据进行计算。

媒体应用：几何画板；小黑板等；平板互动。

设计意图：通过半角模型的研究，我们找到了半角模型的本质是通过旋转变换构造全等，探究新的边边关系，其核心是半角。通过研究，我们找到了这种模型的规律，从而创编了这个题。通过图形的不断改造，从特殊到一般研究思想，半角模型适用于任何三角形吗？为给优秀的学生留一点思维的空间，激发他们继续研究半角模型的热情，在课后，我将让学生继续探究一般三角形的半角模型，编写相应的试题，发微视频在班级群里共享。

五、整理小结，形成方法

半角模型图形变换

反思：

1.

把半角一侧的三角形通过旋转变化或轴对称变化构造新的全等三角形来转换边和角以此探究新的边边关系；

2.

探究边边关系其实就是勾股定理或解三角形的应用；

3.

有时也会用已知的半角去构造该模型解决问题。

师生活动：师生共同梳理本节课的图形变换、建模思想、思想方法、解题技巧。

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媒体应用：PPT展示

设计意图：通过对半角模型的研究，并对图形的不断再造，为学生找到解几何变换综合题的思维方法，让学生利用模型思想，以不变迎万变的方法解几何综合题，从而将复杂问题简单化，将繁琐问题容易化。半角模型只是几何模型的一种，在以后的教学中，我会继续带领学生研究其它的模型，以模型思想来解27题，彻底消除学生对27题的恐惧心理。

星级达标：

1.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：

①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③BE2＋DC2＝DE2；④BE＋DC＝DE，其中正确的是__________(只填序号)．

2.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45∘. (1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90∘,得到△ABG(如图①),求证：△AEG≌△AEF；

(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证：EF2=ME2+NF2；

(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系。

教学反思：

基于旋转变换几何变换综合题，考察学生综合运用能力和识图能力。此题没有固定题型和固定解法，主要考察：重要模型的建立、常见思路的总结。其核心是：从综合复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系。因此，在此题的中考复习上，让学生建立模型思想是解题的关键，有了建模思想，学生才会找到解决定问题的思路和作辅助线的方法。

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通过研究，我们发现几何变换主要有平移、旋转和轴对称，近三年成都中考都是考察的旋转模型，因此，我们以教研组的力量分析出了旋转常见的五种模型：旋转全等、旋转相似、旋转半角、旋转对角互补、旋转倍长中线。如果能将这五种模型及其图形的再造理解透，学生对旋转变换题就会做到化繁为简，轻松解决的目的。而在这五种模型中，半角模型是学生最不常的模型，但又是相对较简单的模型，在本次课堂教学中，我将它作为旋转变换复习的第一种模型进行研究，从而点石成精，提高学生对旋转变换的恐惧心理。

在本课的教学中，我先让学生认识基本的半角模型——正方形中的半角模型，再对模型变换，再对正方形中的半角模型进行分离，得到等腰直角三角形中的半角模型，并进一步将图形改造成120°的等腰三角形半角模型，最后，再将等腰三角形改造成不等腰三角形，整个课堂围绕半角模型，从特殊到一般，不断深入，引导学生向思维高度进行探究，并引导学生发现规律、添加辅导线，让学生找到解决此类问题的通道。从而将旋转变换综合的图形变换试题转换为学生能够认知和接收的试题。

通过课堂展示，充分引导学生思维不断前进，看似非常简单的中考题在学生这里已经能够找到解决的思路和方法，从而树立了解决图形变换的一些方法。让学生知识，只要得法，是有办法解决旋转变换二、三个问的，激发出了学生复习几何综合题的热情，并迸发出对其它旋转模型研究的激情，相信将其它几种模型研究完以后，学生不会再惧怕旋转变换题。

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