小结与思考名师教学视频（文字实录）

第27讲

圆的相关概念及性质

教学目标：1、理解圆及弦、弧、圆心角、圆周角的概念，了解弧、弦、圆心角之间的关系。

2、利用圆的对称性解答相关题目。

教学重点：理解圆及弦、弧、圆心角、圆周角的概念，了解弧、弦、圆心角之间的关系及圆的对称性。

教学难点：灵活利用圆的相关概念及对称性解决相关问题。

教学过程：

一、知识要点归纳

知识点一

圆的有关概念及性质

1．

圆的有关概念

弦定义

弦

直径

连接圆上任意两点的①__________叫做弦

经过②__________的弦叫做直径；直径是圆内最

③________的弦，直径等于④__________的2倍

圆上任意两点间的部分叫做弧．弧有优弧、半圆、劣弧之分

︵︵

小于半圆的弧叫劣弧，如AC

，BC

︵︵大于半圆的弧叫优弧，如ABC

，ACB

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧

弧定义

劣弧

弧

优弧

等弧

圆心角

顶点在圆心且两边都和圆相交的角叫做圆心角，如∠AOB

圆周角

顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如∠ACB

等圆

能够重合的两个圆叫做等圆

同心圆

圆心相同的圆叫做同心圆

2．圆的有关性质

(1)轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条⑤__________所在的直线都是圆的对称轴．

(2)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是⑥__________. 1

(3)圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转⑦__________角度，都能与原来的图形重合

知识点二

圆周角定理及其推论

1．定理

内容

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的①__________ 情况

圆心在圆周

角的一条边上

圆心在圆

周角内部

圆心在圆

周角外部

图形

结论

2．推论

内容

表示

形式

∠APB＝②________________ 推论1

推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是④__________，

90°的圆周角所对的弦是⑤__________ 如图，(1)∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝⑦____________；

(2)∵∠C＝90°，

∴AB是⊙O的直径

推论2 同弧或等弧所对的圆周角③__________

︵︵如图，(1)∵BD

＝BD

，

∴∠1＝⑥__________；

︵︵(2)∵DE

＝BD

，∴∠2＝∠3

推论1

图形

辅助线

作法

对的圆周角

2

有直径时，连接过直径端点的弦，构造直角三角形，构造同弧所

知识点三

弧、弦、圆心角的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧①__________，所对的弦也②__________.

2．推论

(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角③__________，所对的弦也④__________. (2)在同圆或等圆中，如果两条弦⑤__________，那么它们所对的圆心角⑥__________，所对的弧也相等．

知识点四

垂径定理及其推论

1．定理 垂直于弦的直径①__________弦，并且②__________弦所对的两条弧． 2．推论 平分弦(不是直径)的直径③__________于弦，并且④__________弦所对的两条弧．

3．垂径定理与推论的延伸

根据圆的对称轴，如图所示，有以下五条结论：

︵︵︵︵①AC

＝BC

；②AD

＝BD

；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是直径．只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三．

知识点五

圆内接四边形的性质

1．圆内接四边形的对角①__________.如图，∠A＋∠BCD＝180°；

2．圆内接四边形的任意一个外角等于它的②____________(和它相邻的内角的对角)．如图，∠DCE＝③__________.

3

二、中考真题精选

重难点1 圆周角定理及其推论的相关计算

重点

例1(2018·陕西)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为(

) A．15°

B．35°

C．25°

D．45°

针对训练

1、(2018·聊城)如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(

) A．25°

B．27.5°

C．30°

D．35°

重难点2 垂径定理及其推论的相关计算

重点

例2 (2018·襄阳)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为(

) A．4

B．22

C．3

D．23

4

针对训练

2．(2018·菏泽)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是(

) A．64°

B．58 °

C．32°

D．26°

易错点1 忽视弦在圆中的不同位置

例3(2018·孝感)已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是________.

易错点2 忽视点在圆中的不同位置

例4 (2018·安顺)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为(

) A．25 cm

B．45 cm

C．25 cm或45 cm

D．23 cm或43 cm

三、课堂小结

你今天有什么收获？

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