小结与思考名师教学实录

圆与圆的位置关系

农安县合隆中学

徐亚惠

一．选择题（共8小题）

1．已知两圆半径分别是3和4，若两圆内切，则两圆的圆心距为（

）

A．1或7 B．1 C．7 D．2

2．已知⊙M与⊙N的半径分别为1和5，若两圆相切，那么这两圆的圆心距MN的长等于（

）

A．4 B．6 C．4或5 D．4或6

3．若两圆的半径分别是1cm和4cm，圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是（

）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

4．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（

）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

5．若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（

）

A．外切 B．相交 C．内切 D．外离

6．两圆的半径分别为2cm，3cm，圆心距为2cm，则这两个圆的位置关系是（

）

A．外切 B．相交 C．内切 D．内含

7．⊙O1和⊙O2的直径分别是6cm和8cm，若圆心距O1O2=2cm，则两圆的位置关系是（

）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

8．已知两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，则这两圆的位置关系为（

）

A．相交 B．外切 C．内切 D．外离

二．填空题（共6小题）

9．如图，已知⊙O的半径为5，⊙O的一条弦AB长为8，那么以3为半径的同心圆与弦AB位置关系是

_________

．

10．已知⊙A与⊙B的半径分别为3和2，若两圆相交，那么这两圆的圆心距AB的取值范围是

_________

．

11．半径分别为8cm与6cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心距O1O2的长为10cm，那么公共弦AB的长为

_________

cm．

12．已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x﹣5x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是

_________

．

13．已知⊙O1与⊙2外切，圆心距为7cm，若⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径是

_________

cm．

14．如图，∠AOB=45°，点O1在OA上，OO1=7，⊙O1的半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于

_________

．

三．解答题（共6小题）

15．如图，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延长AD到点E，使AE=15，连接BE交AC于点P．

（1）求AP的长；

（2）若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；

（3）已知以点A为圆心，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．

①求动⊙A的半径r1的取值范围；

②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，求r2的取值范围．

2

16．如图，已知sin∠ABC=，⊙O的半径为2，圆心O在射线BC上，⊙O与射线BA相交于E、F两点，EF=．

（1）求BO的长；

（2）点P在射线BC上，以点P为圆心作圆，使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切，求所有满足条件的⊙P的半径．

17．若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．

18．已知⊙O1半径为5cm，⊙O2半径为3cm，求两圆相切时的圆心距．

19．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点．⊙A的半径为3，动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒．

（1）当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值；

（2）探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切？若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由．

20．如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．

（1）试写出点A、B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

圆与圆的位置关系

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．已知两圆半径分别是3和4，若两圆内切，则两圆的圆心距为（

）

A．

1或7 B．1 C．7 D．

2

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

由内切两圆的半径分别为4和7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得答案．

解答：

解：∵内切两圆的半径分别为4和3，

∴它们的圆心距是：4﹣3=1．

故选B．

点评：

此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

2．已知⊙M与⊙N的半径分别为1和5，若两圆相切，那么这两圆的圆心距MN的长等于（

）

A．

4 B．6 C．4或5 D．

4或6

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

外切时，圆心距为1+5=6；内切时，圆心距5﹣1=4．

解答：

解：∵两圆相切，

∴两圆可能外切和内切，

∴外切时，圆心距为1+5=6；

内切时，圆心距为5﹣1=4．

∴圆心距为6或4．

故选D．

点评：

考查了圆与圆的位置关系，本题用到的知识点为：两圆外切，圆心距=两圆半径之和．两圆内切，圆心距=两圆半径之差．

3．若两圆的半径分别是1cm和4cm，圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是（

）

A．

内切

B．相交

C．外切

D．

外离

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：可知外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．

解答：

解：∵⊙O1与⊙O2的圆心距是5cm，它们的半径分别为1cm和4cm，

1+4=5，

∴两圆外切．

故选：C．

点评：

本题利用了两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和的性质求解．

4．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（

）

A．

外离

B．外切

C．相交

D．

内切

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．

解答：

解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，

又∵7＞3+2，

∴两圆的位置关系是：外离．

故选：A．

点评：

此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

5．若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（

）

A．

外切

B．相交

C．内切

D．

外离

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．

解答：

解：根据题意，得：R+r=8cm，即R+r=d，

∴两圆外切．

故选：A．

点评：

本题主要考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系，属于基础题．

6．两圆的半径分别为2cm，3cm，圆心距为2cm，则这两个圆的位置关系是（

）

A．

外切

B．相交

C．内切

D．

内含

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

由两个圆的半径分别是3cm和2cm，圆心距为2cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．

解答：

解：∵两个圆的半径分别是3cm和2cm，圆心距为2cm，

又∵3+2=5，3﹣2=1，1＜2＜5，

∴这两个圆的位置关系是相交．

故选：B．

点评：

此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

7．⊙O1和⊙O2的直径分别是6cm和8cm，若圆心距O1O2=2cm，则两圆的位置关系是（

）

A．

外离

B．外切

C．相交

D．

内切

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

由⊙O1、⊙O2的直径分别为8和6，圆心距O1O2=2，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得两圆位置关系．

解答：

解：∵⊙O1、⊙O2的直径分别为6cm和8cm，

∴⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm，

∴1＜d＜7，

∵圆心距O1O2=2，

∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．

故选：C．

点评：

此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

8．已知两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，则这两圆的位置关系为（

）

A．

相交

B．外切

C．内切

D．

外离

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．

解答：

解：∵两圆的半径分别是3cm和5cm，圆心距为7cm，

5﹣3=2，3+5=8，

∴2＜7＜8，

∴两圆相交．

故选：A．

点评：

此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

二．填空题（共6小题）

9．如图，已知⊙O的半径为5，⊙O的一条弦AB长为8，那么以3为半径的同心圆与弦AB位置关系是

相切

．

考点：

圆与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．

分析：

过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC，再根据直线与圆的位置关系进行判断即可．

解答：

解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，

则∠OCA=90°，AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△OCA中，OA=5，AC=4，由勾股定理得：OC===3，\

∵3=3，

∴以3为半径的同心圆与弦AB位置关系是相切．

故答案为：相切．

点评：

本题考查了勾股定理，垂径定理，直线与圆的位置关系的应用，解此题的关键是求出OC的长，注意：直线与圆的位置关系有：相离，相切，相交．

10．已知⊙A与⊙B的半径分别为3和2，若两圆相交，那么这两圆的圆心距AB的取值范围是

1＜AB＜5

．

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

两圆相交时，圆心距介于两圆半径的差与和之间．

解答：

解：∵两圆半径分别为2、3，

3﹣2=1，3+2=5，

∵两圆相交

∴1＜AB＜5，

故答案为：1＜AB＜5．

点评：

本题考查了圆与圆的位置关系，利用了两圆相交时，圆心距介于两圆半径的差与和之间的性质求解．

11．半径分别为8cm与6cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心距O1O2的长为10cm，那么公共弦AB的长为

9.6

cm．

考点：

相交两圆的性质．

分析：

根据相交两圆的性质以及垂径定理得出AC=AB，进而利用勾股定理得出AC的长即可得出AB的长．

解答：

解：连接AO1，AO2．

∵⊙O1，⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为8cm和6cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，

∴O1O2⊥AB，

∴AC=AB，

设O1C=x，则O2C=10﹣x，

2222∴8﹣x=6﹣（10﹣x），

解得：x=6.4，

2222∴AC=8﹣x=64﹣4.8=23.04，

∴AC=4.8cm，

∴弦AB的长为：9.6cm．

故答案为：9.6．

点评：

此题考查了相交圆的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

12．已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x﹣5x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是

外离

．

考点：

圆与圆的位置关系；根与系数的关系．

2分析：

由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x﹣5x+5=0的两实根，根据根与系数的关系即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的和，又由⊙O1与⊙O2的圆心距d=6，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径r1，r2的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．

2解答：

解：∵两圆的半径分别是方程x﹣5x+5=0的两个根，

∴两半径之和为5，

∵⊙O1与⊙O2的圆心距为6，

∴6＞5，

∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外离．

故答案为：外离．

点评：

此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的根与系数的关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径r1，r2的数量关系间的联系是解此题的关键．

13．已知⊙O1与⊙2外切，圆心距为7cm，若⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径是

3

cm．

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．

解答：

解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是7﹣4=3cm．

故答案为：3．

点评：

本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．

14．如图，∠AOB=45°，点O1在OA上，OO1=7，⊙O1的半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于

3或15

．

2

考点：

圆与圆的位置关系．

专题：

压轴题；数形结合．

分析：

作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，设O2C=r，根据⊙O1的半径为2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7﹣r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可．

解答：

解：如图，作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，

设O2C=r，

∵∠AOB=45°，

∴OC=O2C=r，

∵⊙O1的半径为2，OO1=7，

∴O1O2=r+2，O1C=7﹣r，

222∴（7﹣r）+r=（r+2），

解得：r=3或15，

故答案为：3或15．

点评：

本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等．

三．解答题（共6小题）

15．如图，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延长AD到点E，使AE=15，连接BE交AC于点P．

（1）求AP的长；

（2）若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；

（3）已知以点A为圆心，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．

①求动⊙A的半径r1的取值范围；

②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，求r2的取值范围．

考点：

圆与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．

分析：

（1）由四边形ABCD是矩形，可得AE∥BC，又可求得AC的长，然后利用平行线分线段成比例定理即可求得AP的长；

（2）由AB=8，AE=15，求得BE的长，然后作AH⊥BE，垂足为H，由AB•AE=BE•AH，求得AH的长，则可求得答案；

（3）①由图形即可求得答案，②由外切的性质即可求得答案．

解答：

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥BC，

∵AB=8，BC=6，

∴AC=10，

∵，即．

解得：AP=

（2）∵AB=8，AE=15，

∴BE=17．

作AH⊥BE，垂足为H，

则AB•AE=BE•AH，

∴∵，

．

∴⊙A与BE相交．

（3）

①6＜r1＜8，

②∵AC=10，

∴2＜r2＜4，或16＜r2＜18．

点评：

此题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，圆与圆的位置关系等知识．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．

16．如图，已知sin∠ABC=，⊙O的半径为2，圆心O在射线BC上，⊙O与射线BA相交于E、F两点，EF=（1）求BO的长；

．

（2）点P在射线BC上，以点P为圆心作圆，使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切，求所有满足条件的⊙P的半径．

考点：

相切两圆的性质；切线的性质；解直角三角形．

分析：

（1）连接EO，过点O作OH⊥BA于点H．利用垂径定理构造直角三角形求得OH，然后利用告诉的∠B的正弦值求得OB；

（2）⊙P同时与⊙O和射线BA相切应分两种情况分类讨论：①当⊙P与⊙O外切；②当⊙P与⊙O内切．

解答：

解：（1）连接EO，过点O作OH⊥BA于点H．

∵EF=，∴EH=．

∵⊙O的半径为2，即EO=2，

∴OH=1．在Rt△BOH中，

∵sin∠ABC=，

∴BO=3．

（2）当⊙P与直线相切时，过点P的半径垂直此直线．

（a）当⊙P与⊙O外切时，

①⊙P与⊙O切于点D时，⊙P与射线BA相切，

sin∠ABC=，得到：；

②⊙P与⊙O切于点G时，⊙P与射线BA相切，

sin∠ABC==，得到：．

（b）当⊙P与⊙O内切时，

①⊙P与⊙O切于点D时，⊙P与射线BA相切，

sin∠ABC=，得到：；

②⊙P与⊙O切于点G时，⊙P与射线BA相切，

sin∠ABC=，得到：．

综上所述：满足条件的⊙P的半径为、、、

点评：

本题综合考查了直线与圆相切和两圆相切的知识，对学生建立系统的与圆相切有关的知识体系有很好的促进作用．

17．若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．

考点：

圆与圆的位置关系；解二元一次方程组．

专题：

压轴题．

分析：

首先由r1、r2是方程组的解，解此方程组即可求得答案；又由⊙O1和⊙O2的圆心距为4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．

解答：

解：∵，

①×3﹣②得：11r2=11，

解得：r2=1，

把r2=1代入①得：r1=4；

∴，

∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4，

∴两圆的位置关系为相交．

点评：

此题考查了圆与圆的位置关系与方程组的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

18．已知⊙O1半径为5cm，⊙O2半径为3cm，求两圆相切时的圆心距．

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

相切分内切和外切，所以分两种情况分别求解．外切时，圆心距=半径之和；内切时，圆心距=半径之差．

解答：

解：∵两圆相切，

∴分外切和内切两种情况．

外切时，圆心距=3+5=8（cm）；

内切时，圆心距=5﹣3=2（cm）．

故两圆相切时的圆心距为：8cm或2cm．

点评：

此题考查了圆与圆的位置关系，注意分类讨论得出是解题关键．

19如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点．⊙A的半径为3，动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒．

（1）当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值；

（2）探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切？若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由．

考点：

圆与圆的位置关系；勾股定理；切线的性质．

专题：

动点型．

分析：

（1）在△ABC中，根据AB=AC，M为BC中点得到AM⊥BC，在Rt△ABM中，AB=10，BM=8得到AM=6．然后分当⊙O与⊙A相外切与当⊙O与⊙A相内切两种情况求得t值即可；

（2）分当点O在BM上运动时（0＜t≤8）和当点O在MC上运动时（8＜t≤16）两种情况求得t值即可．

解答：

解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，M为BC中点

∴AM⊥BC 在Rt△ABM中，AB=10，BM=8∴AM=6．（1分）

当⊙O与⊙A相外切

可得

（t+3）=（8﹣t）+6解得当⊙O与⊙A相内切

可得（t﹣3）=（t﹣8）+6解得∴当或222222（3分）

（5分）

时，⊙O与⊙A相切．

（2）存在

当点O在BM上运动时（0＜t≤8））

可得（8﹣t）+6=（8﹣t+3）解得此时半径

222（8分）

当点O在MC上运动时（8＜t≤16））

可得（t﹣8）+6=（t﹣8+3）解得222（10分）

此时半径当或

时，，⊙O与直线AM相切并且与⊙A相外切．

点评：

本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理、切线的性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．

20．如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．

（1）试写出点A、B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

考点：

圆与圆的位置关系．

专题：

压轴题；动点型．

分析：

（1）因为⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，所以此题要分两种情况讨论：

当点A在点B的左侧时，圆心距等于11减去点A所走的路程；

当点A在点B的右侧时，圆心距等于点A走的路程减去11；

（2）根据两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有4种情况．

解答：

解：（1）当0≤t≤5.5时点A在点B的左侧，此时函数表达式为d=11﹣2t，

当t＞5.5时点A在点B的右侧，圆心距等于点A走的路程减去11，此时函数表达式为d=2t﹣11；

（2）分四种情况考虑：两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意，

可得11﹣2t=1+1+t，t=3；

②当两圆第一次内切，由题意，

可得11﹣2t=1+t﹣1，t=；

③当两圆第二次内切，由题意，可得2t﹣11=1+t﹣1，t=11；

④当两圆第二次外切，由题意，可得2t﹣11=1+t+1，t=13．

所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒时两圆相切．

点评：

此题一定要结合图形分析各种不同的情况．注意在解答第二问的时候，⊙B的半径也在不断变化．