6.4 反三角函数优质课教案内容

《反正弦函数》教案

上海南汇中学

张倩文

教学目标：

1.知识技能：掌握反正弦函数的概念；掌握符号arcsinx的含义；了解反正弦函数的图像，运用数形结合的数学思想掌握反正弦函数的性质；掌握反正弦函数的概念的应用；

2.过程与方法：通过围绕一系列反函数的概念的问题，引导学生有目的去思考反正弦函数概念，并组织学生进行有效的小组讨论，归纳总结出反正弦函数的概念和性质，并通过例题的讲解和课堂练习使学生掌握反正弦函数的概念及其应用。

3.情感、态度及价值观：通过反正弦函数探讨和深化，培养学生提出问题、研究问题的意识，并从中体验研究的乐趣。

教学重点：

反正弦函数的概念的理解及反正弦函数符号的含义；反正弦函数图像与性质的掌握；

教学难点

反正弦函数的概念的形成；反正弦函数的应用；

教学过程：

一、情景引入

三角学起源于测量，天文测量、航海测量都是利用三角形之间的边角关系来测量的。即利用比值与角之间的关系测量得到距离、高度和角度。而在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题：1、已知角的值求比值（正弦函数）2、已知比值求角

正弦函数ysinx研究的是角值如何确定正弦值，角值是自变量，正弦值是因变量，而现今要解决的是正弦值如何确定相应的角值？ 回顾利用反函数从指数函数的研究过度到了对数函数的研究，类比思考只需要考虑由正弦函数的因变量去确定自变量。即需要考虑正弦函数的反函数。

二、新课生成：

回顾反函数的基本知识：定义，图像，求解步骤。

设计意图：反函数学习时间较长，遗忘较大，及时巩固复习便于研究反正弦函数。

问题1：二次函数yx，xR，则此函数在定义域内是否有反函数？为什么？

预设：学生回答否定。不满足一一对应。

设计意图：利用熟悉的二次函数回顾反函数概念，并非每一个函数都有反函数。

问题2：请同学们在其定义域上取一个子集使函数yx在这个子集内有反函数。

预设：学生给出各类区间，如,1等单调区间

设计意图：函数在定义域上具有反函数，只需要自变量与因变量一一对应，即定义域为这个函数的一个单调区间。为反正弦函数区间的选择做铺垫。

问题3：研究函数ysinx在定义域内是否有反函数。（同时给出函数图像）

预设：学生认为没有反函数，因为对于每一个y，有无数个x与之对应，x与y不是一一对应。

设计意图：类比问题1与2思考如何解决反三角函数的问题，只需要适当调整定义域。

22

问题4：能否在实数集R内适当取一个子集A，使y=sinx，x∈A具有反函数？

给出依据两个原则：

（1）所取区间ysinx在该区间上存在反函数；

（2）能取到ysinx的一切函数值1,1。

预设：学生可以指出函数的单调区间，在单调区间上函数有反函数。因为函数在这些区间上是单调函数，自变量和因变量一一对应。

设计意图：让学生感受反三角函数的由来，对于反三角函数有进一步深刻的认识。我们规定选择,这一具有研究价值的区间。

22,的反函数。

22问题5：求函数ysinx,x预设：学生在求解的时候无法解决符号表示。

设计意图：由此正式引入arcsin这一个符号。

（补充：选择arcsin表示反正弦函数是有道理的。arcsin中sin是正弦，arc是什么意思呢？arc并不是“反”的意思，它是英文单词，解释为“圆弧”，圆弧即圆周上的一段，那么圆弧l与圆心角有什么关系呢？lr，在单位圆中r1，即l，所以此时弧即角，角即弧。我们可以将arc理解作角，所以arcsin从字面上理解就是正弦值为y所对应的角，因此用arcsiny记反正弦函数是有道理的。

表示正弦值为y所对应的角，等号是“是”的意思，所以，xarcsiny

即：正弦值为y所对应的角是x，x是正弦值为y所对应的角。）

例1．

求下列反正弦函数值：

（1）arcsin31。

；（2）arcsin0；（3）arcsin1；（4）arcsin22；（2）0；（3）；（4）。

236设计意图：对于arcsin这一个符号有进一步了解。

解：（1）

1、

给出反正弦函数的定义：

把函数ysinx，x,的反函数定义为反正弦函数，记作：

22yarcsinx

其中定义域为1,1，值域为

,；

22

2、

师生共同探讨反正弦函数的图象和性质。

（1）

可利用原来函数图像与反函数图像关于直线yx对称翻折而得到。

由学生自己画出图像，从反正弦函数的图像中，形数结合，再让学生直观了解反正弦函数的性质。（利用工作单）

设计意图：自主探究加强对于图像的认识。

（2）

观察图象，得出性质：

1.

定义域；1,1（非性质）

y21y=arcsinxy=xy=sinx2.

值域：,（非性质）

223.

奇偶性：奇函数（课后自主用定义证明）

4.

单调性：在1,1上单调递增函数

5.

最值：x1,ymino12x2，x1,ymax2

例2．

写出下列函数的定义域和值域：

（1）y2arcsinx；（2）y11arcsin。

2x解：（1）定义域：0,1，值域：0,；

（2）定义域：,11,，值域：,00,。

44三、课堂小结：

1、反正弦函数的概念；

2、图象的特点。

四、作业布置

1.导学练习

2.思考下列等式是否成立？若成立的话，有何条件

五、板书设计

反函数前提

定义

符号意义

图像

六、课堂小结

1.知识点总结

2.思想方法总结

例题

课题

七、教学反思

我在教学设计中充分关注《反正弦函数》的指导思想与理论依据：（1）《新课标》中倡导自主探索，发挥学生的主动性，让学生体验数学发现、创造的历程。（2）在评价中更关注学生学习过程的评价及学生在数学活动中所表现的情感态度的变化。

本节课中着重处理反三角概念的由来及反三角符号的处理，层层剖析，让学生了解和接受这一全新的符号。其中加入数学史的知识，让课堂更丰富，让学生了解符号的演变历史，课堂中这一部分的处理时间可适当有所增加。利用一个个小问题铺垫，让学生探究反正弦的概念并利用工作单探究反三角的图像和性质。学生自主探究函数的性质与图像，在这个过程中过充分体现了数形结合的思想,也体现了《新课标》中倡导自主探索，发挥学生的主动性，让学生体验数学发现、创造的历程的教育理念。整节课容量较大，课后小结处理让学生总结更好。对于课堂中板书的书写可以有更好的设计，让课堂生成保留在黑板上。