1.1.3 四种命题间的相互关系PPT专用课堂实录内容

第一章

常用逻辑用语

§1.1

命题及其关系

1.1.3

四种命题间的相互关系

1.四种命题的相互关系

四种命题的真假性

(1)

两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是:_________. (2)

①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_______真假性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_______真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_______. 1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若

p，则

q”是互否命题吗？

提示：不是，如命题“若q，则p”和“若

q，则

p”也是互否命题. 2.互逆命题的真假性一定不等价吗？

提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真. 3.命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________. 【解析】因为命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”是假命题，则其逆否命题也为假命题.其逆命题“若函数是一次函数，则函数解析式为f(x)=ax+b”是真命题，则它的逆否命题（即原命题的否命题）也为真，所以真命题的个数为2. 答案：2 1.对四种命题间结构关系的认识

“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一. 2.对四种命题间真假关系的认识

（1）当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题的真假是没有关系的，即它们之间可能同真、同假、一真一假. （2）当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题的真假是等价的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其一.

题目类型一、判断两个命题间的结构关系

【技法点拨】

判断两个命题间的结构关系的方法

这类问题的解决方法是判断两个命题的条件和结论之间的关系.若“只换位不换质”，则两者之间就是“互逆命题”；若“只换质不换位”，则两者之间就是“互否命题”；若“既换位又换质”，则两者之间就是“互为逆否命题”. 【典例训练】

1.与命题“在等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”为互逆命题的是(

) （A）在等差数列{an}中，若m+n≠p+q,则am+an≠ap+aq （B）在等差数列{an}中，若am+an=ap+aq,则m+n=p+q （C）在等差数列{an}中，若am+an≠ap+aq,则m+n≠p+q （D）在等差数列{an}中，若m+n≠p+q,则am+an=ap+aq 2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为互否命题的是(

) （A）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l

（B）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l （C）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一

（D）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一

3.（2012·湖南高考）命题“若α=

,则tanα=1”的逆否命题是(

) （A）若α≠

,则tanα≠1 （B）若α=

,则tanα≠1 （C）若tanα≠1,则α≠

（D）若tanα≠1,则α=

【解析】1.选B.根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q”. 2.选C.根据互否命题的概念知原命题条件的否定和结论的否定分别是否命题的条件和结论，所以与之互否的命题为“已知点A，直线l0，l,A∈l0，若l0不平行于l，则l0不唯一”. 3.选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠

”，故选C. 第1题的逆命题是真命题吗？

由它的真假性，你会得到怎样的启示呢？

提示：第1题的逆命题是假命题.例如常数列1,1，….由它得到的启示是:在将一个命题的逆命题作为结论使用时，一定要先对其真假性作出判断，然后再决定是否可以使用. 1.与命题“在等比数列{an}中，若m+n=p+q,则am·

an =ap·aq”为互逆命题的是(

) （A）在等比数列{an}中，若am ·

an = ap·aq,则m+n=p+q （B）在等比数列{an}中，若am ·

an = ap·aq,则m+n≠p+q （C）在等比数列{an}中，若m+n≠p+q,则am ·

an = ap·aq

（D）在等比数列{an}中，若am ·

an ≠

ap·aq,则m+n≠p+q 【解析】选A.根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等比数列{an}中，若am·

an = ap·aq,则m+n = p+q”. 2.与命题“已知x1∈R,x2∈R且x1f(x1)”互为逆否命题的是(

) （A）已知x1∈R,x2∈R且x1f(x1) （B）已知x1∈R,x2∈R且x1

【解析】选D.根据互为逆否命题的概念知原命题条件的否定和结论的否定分别是其逆否命题的结论和条件，所以与之互为逆否的命题为“已知x1∈R,x2∈R,且x1＜x2,若f(x2)≤f(x1)，则f(x)不是增函数”.

题目类型二、四种命题的真假判断

【技法点拨】

四种命题的真假判断的两种方法

（1）利用命题真假判断的方法判断. （2）由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆（否）命题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成. 1.命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(

) （A）4

（B）3

（C）2

（D）0 2.有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④“若A∪B＝B，则AB”的逆否命题．

其中的真命题是(

) （A）①②

（B）②③

（C）①③

（D）③④

【解析】1.选C．因为原命题是真命题，而它的逆命题是假命题，所以它的否命题是假命题，逆否命题是真命题,故真命题有2个. 2.选C．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”,是真命题，因此排除B，D．又“相似三角形的周长相等”的否命题是“若两个三角形不相似，则它们的周长不相等”，是假命题，排除A．所以选C．

【互动探究】若将题2中③“有实根”改为“有两个不相等的实根”，其他条件不变，判断它的逆否命题的真假. 【解题指南】先找出“方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个相等的实根或者没有实根”的等价条件，然后再判断. 【解析】本命题的逆否命题是“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个相等的实根或者没有实根，则b>－1”.因为方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个相等的实根或者没有实根，所以Δ≤0⇔(-2b)2-4(b2+b)≤0⇔b≥0⇒b>-1，所以本命题的逆否命题是真命题. 作业：【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？

提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进行排除. 【变式训练】1.下列命题中为真命题的是(

) （A）命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

（B）命题“若x>1，则x2>1”的逆命题

（C）命题“若x=1，则x2+x-2=0”的否命题 （D）命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

2.下列命题：

(1)“全等三角形的面积相等”的逆命题；

(2)“若ab＝0，则a＝0”的否命题；

(3)“正三角形的三个内角均为60°”的逆否命题，

其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．

解析】1.选A.因为选项A：x>|y|，所以x>0.当y≥0时，x>y；当y<0时，x>-y>y,所以x>y.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是真命题；选项B：逆命题为“若x2>1，则x>1”，是假命题.因为x2>1，所以x<-1或x>1；选项C：它的否命题是“若x≠1，则x2+x-2≠0”.因为x≠1时,x2+x-2可以为0，所以是假命题；选项D：因为原命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题. 2.（1）“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；

（2）“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”.而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；

（3）由于原命题“正三角形的三个内角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题．故填（2）（3）. 答案：（2）（3）