信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学实录

武汉十二中 2017-2018学年 高二 学案 编号： 使用时间：2018-7 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：

圆与椭圆的相互生成（教案）

执笔

：袁

晟

审核：高二年级组

领导签字：

解：设M(x,y)，P(x0,y0)，则x=x0,y=y0.2一、教学目标

◆

知识与能力

对椭圆的认识进一步深化，了解圆与椭圆如何相互生成，会利用圆与椭圆相互生成解决实际问题；

◆

过程与方法

引导学生借助数学绘图软件——几何画板观看、了解圆与椭圆如何相互生成，用它们之间存在的关系解决圆与椭圆内点的轨迹问题；

◆

情感态度与价值观

在数形结合思想的渗透过程中，使学生体会到数学知识“动静结合”，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。

二、教学重难点

【重点】引导学生借助数学绘图软件——几何画板观看、了解圆与椭圆如何相互生成，用它们之间存在的关系解决圆与椭圆内点的轨迹问题;

【难点】会利用“数形结合思想”来解决圆与椭圆相互生成问题。

三、教学流程

(一)知识回顾，再现基础

问题

请回答：

圆的定义：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

椭圆的定义：平面内到两定点的距离之和等于常数（大于这两点之间的距离）

的点的集合。

(二）合作学习,探求方法

1. 由圆生成椭圆

例1 在圆x+y=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

1 2222因为点P(x0,y0)在圆x+y=4上，所以x0+y0=4.把x=x0,y=得x22x+4y=4，即+y=1.42222y0.代入方程x02+y02=4，2所以，点M的轨迹是一个椭圆。【由圆生成椭圆——相当于把圆“压缩”】

训练1.已知圆F1的方程是(x+1)2+y2=16,M为圆F1上的动点，点F2的坐标为(1,0)，线段MF2的垂直平分线与直线MF1交于点P，则点P的轨迹方程是

.

x2y2=1

答案：+43

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2.由椭圆生成圆

x2例2 在椭圆+y2=1上任取一点P，求横坐标与点P横坐标相同，纵坐标为点P纵4因为A点在单位圆上运动，所以x02y021.

②

y2将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x21 (m0,且m1).

m2因为m(0,1)(1,)，所以

当0m1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(1m2,0)，(1m2,0)；

当m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0,m21)，(0,m21).

坐标2倍的点的轨迹方程。

答案：x+y=4

【由椭圆生成圆——相当于把椭圆“拉伸”】

x2y2=1的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上动点，训练2.已知椭圆C：+过F2作直16422

线与∠F1PF2的外角平分线垂直，垂足为G，则G点的轨迹方程是

.

（四）课堂小结，巩固训练

1.（2016 课标I）设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重

合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

22答案：x+y=16

证明：EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程.

2

【解析】圆A整理为x1y216，A坐标1,0，如图，

QBE∥AC，则∠C∠EBD，由ACAD,则∠D∠C，

∠EBD∠D，则EBED，AEEBAEEDAD4|AB|

（三）深化研究,提升能力

例3. （2012 湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足x2y2根据椭圆定义为一个椭圆，方程为1，(y0)；

43-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是(x-2)2+(y+1)2=1．

2.点P(4，|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1)。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

【解析】

设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM|m|DA|(m0,且m1)，

可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|

s＝2x－4，【解析】设圆上任一点为Q(s，t)，PQ的中点为A(x，y)，则解得t＝2y＋2，－2＋ty＝，2x＝代入圆方程，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，整理，得：(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 4＋s，2

y2=1,过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A,B。O是坐标原点，点3.设椭圆方程为x+421|y|.

①

m2

武汉十二中 2017-2018学年 高二 学案 编号： 使用时间：2018-7 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：

P满足OP=1(OA+OB)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程。

2【解析】解法一：直线l过点M(0, 1)，

设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.

记A(x1, y1)，B(x2, y2)，由题设可得点A，B的坐标(x1, y1)，(x2, y2)是方程组y＝kx＋1，①的解.

y22x＋＝1.②4消去参数k得4x2＋y2－y＝0，

③

当k不存在时，A，B中点为坐标原点(0, 0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.

解法二：设点P的坐标为(x, y)，

因A(x1, y1)，B(x2, y2)在椭圆上，所以

22y1x1＋＝1，

x2所以点P的轨迹方程为＋116y－12142＝1.

44④

⑤

22y2x2＋＝1，

2212④－⑤得x1－x2＋(y1－y22)＝0，

41所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0. 4y1－y21当x1≠x2时，有x1＋x2＋(y1＋y2)·＝0，

⑥

4x1－x2y＋y并且y＝2，

⑦

y－1y－yx＝x－x.x＝121212x1＋x2，2将⑦代入⑥并整理得4x2＋y2－y＝0.

⑧

当x1＝x2时，点A，B的坐标为(0, 2)，(0，－2)，

这时点P的坐标为(0, 0)也满足⑧，

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