小结优秀教学设计

第一章

常用逻辑用语

1.1命题及其关系

1.1.1

命题

（一）教学目标

１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；

２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点

重点：命题的概念、命题的构成

难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程

学生探究过程：

1．复习回顾

初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？

2．思考、分析

下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？

（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点

．

（2）2+4=7．

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（４）若x2=1,则x=1．

（５）两个全等三角形的面积相等．

（６）３能被２整除．

3．讨论、判断

学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳

定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．

在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．

教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

5．练习、深化

判断下列语句是否为命题？

（１）空集是任何集合的子集．

（２）若整数a是素数，则是a奇数．

（３）指数函数是增函数吗？

（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．

（５）＝－２．

（６）x＞１５．

让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．

解略。

引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？

通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．

过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？

6.命题的构成――条件和结论

定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者

“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．

7．练习、深化

指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．

（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．

（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．

（３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．

（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．

（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．

此题中的（１）（２）（３）（４），较容易，估计学生较容易找出命题中的条件p和结论q，并能判断命题的真假。其中设置命题（３）与（４）的目的在于：通过这两个例子的比较，学更深刻地理解命题的定义——能判断真假的陈述句，不管判断的结果是对的还是错的。

此例中的命题（５），不是“若P，则q”的形式，估计学生会有困难，此时，教师引导学生一起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．

解略。

过渡：从例２中，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．

8．命题的分类――真命题、假命题的定义．

真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．

假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．

强调：

(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．

(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。

9．怎样判断一个数学命题的真假？

(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．

(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

10．练习、深化

例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：

（１）

面积相等的两个三角形全等。

（２）

负数的立方是负数。

（３）

对顶角相等。

分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。

11、巩固练习：Ｐ４

２、３

12．教学反思

师生共同回忆本节的学习内容．

1．什么叫命题？真命题？假命题？

2．命题是由哪两部分构成的？

3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式．

4．如何判断真假命题．

教师提示应注意的问题：

1．命题与真、假命题的关系．

2．抓住命题的两个构成部分，判断一些语句是否为命题．

３．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．

13．作业：P9：习题1．１Ａ组第1题

1.1.2四种命题

1.1.3四种命题的相互关系

（一）教学目标

◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．

◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问

题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（二）教学重点与难点

重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．

难点：（1）命题的否定与否命题的区别；

（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（三）教学过程

学生探究过程：

１．复习引入

初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？

2．思考、分析

问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

３．归纳总结

问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

４．抽象概括

定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

让学生举一些互逆命题的例子。

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

让学生举一些互否命题的例子。

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定

和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

让学生举一些互为逆否命题的例子。

小结：

(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．

强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

５．四种命题的形式

让学生结合所举例子，思考：

若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

学生通过思考、分析、比较，总结如下：

原命题：若P，则q．则：

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

６．巩固练习

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：

（１）

若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；

（２）

若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；

（３）

若x2=1,则x=1；

（４）

若整数a是素数，则是a奇数。

７．思考、分析

结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

通过此问，学生将发现：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

原命题为假时类似。

结合以上练习完成下列表格：

原

命

题

逆

命

题

否

命

题

逆

否

命

题

真

真

假

真

假

真

假

假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

由此会引起我们的思考：

一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？

让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．

学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：

８．总结归纳

若P，则q．

若q，则P．

原命题

互

逆

逆命题

互

否

互

为

否

逆

互

否

为

互

逆

否

否命题

逆否命题

互

逆

若￢P，则￢q．

若￢q，则￢P．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

９．例题分析

例4：

证明：若p2 ＋

q2 ＝2，则p ＋

q ≤

2．

分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。

将“若p2 ＋

q2 ＝2，则p ＋

q ≤

2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

证明：若p ＋

q ＞2，则

p2 ＋

q2

＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞×２２＝２

所以p2 ＋

q2≠2．

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

练习巩固：证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．

１０：教学反思

（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；

（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；

（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；

（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．

１１：作业

P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题

1．2充分条件与必要条件

（一）教学目标

1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．

３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

（二）教学重点与难点

重点：充分条件、必要条件的概念．

(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．) 难点：判断命题的充分条件、必要条件。

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

（三）教学过程

学生探究过程：

1．练习与思考

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x ＞

a2

+ b2，则x ＞

2ab,

（2）若ab ＝

0，则a ＝

0. 学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

２．给出定义

命题“若p，则q”

为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p==>q．

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ==> q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．

上面的命题(1)为真命题，即

x ＞

a2

+ b2

==>

x ＞

2ab，

所以“x ＞

a2

+ b2

”是“x ＞

2ab”的充分条件，“x ＞

2ab”是“x ＞

a2

+ b2”

＂的必要条件．

3．例题分析：

例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x ＝1，则x2 －

4x ＋

3 ＝

0；（2）若f(x)＝

x，则f(x)为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数．

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．

解略．

例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件? (1) 若x ＝

y，则x2 ＝

y2；

(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

（3）若a ＞b,则ac＞bc．

分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．

解略．

４、巩固巩固：P12

练习

第1、2、3、4题

５．教学反思：

充分、必要的定义．

在“若p，则q”中，若p==>q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．

６．作业

P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题

注：（1）条件是相互的；

（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：

①

p是q的充分而不必要条件；

②

p是q的必要而不充分条件；

③

p是q的充要条件；

④

p是q的既不充分也不必要条件．

1.2.2充要条件

(一)教学目标

1.知识与技能目标：

（１）

正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（２）

正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （３）

通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

（二）教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

（三）教学过程

学生探究过程：

1.思考、分析

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断：

p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：p==>q，故p是q的充分条件；

又q ==> p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件

２.类比归纳

一般地,如果既有p==>q ，又有q==>p 就记作

p ? q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

概括地说,如果p ? q,那么p 与

q互为充要条件. 3.例题分析

例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（１）

p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（２）

p:x ＞

0,y ＞

0,q: xy＞

0；

（３）

p: a ＞

b ,q: a + c ＞

b + c；

（４）

p:x ＞

5, ,q: x ＞

10 （５）

p: a ＞

b ,q: a2 ＞

b2 分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题（１）和（３）中，p==>q ，且q==>p，即p ? q，故p 是q的充要条件；

命题（２）中，p==>q ,但q

??

p，故p 不是q的充要条件；

命题（４）中，p??q ，但q==>p，故p 不是q的充要条件；

命题（５）中，p??q ，且q??p，故p 不是q的充要条件；

４．类比定义

一般地，

若p==>q ,但q

??

p，则称p是q的充分但不必要条件；

若p??q，但q

==>

p，则称p是q的必要但不充分条件；

若p??q，且q

??

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若p==>q ,但q

??

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若q==>p，但p

??

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若p==>q，且q==>p，则p是q的充要条件；

④若p

??

q，且q

??

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

５．巩固练习：P14

练习第

1、2题

说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或

p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．

６．例题分析

例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p==>q）和必要性（q==>p）即可．

证明过程略．

例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？

７．教学反思：

充要条件的判定方法

如果“若p，则q”与“

若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．

８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题