2.4.2 抛物线的几何性质教学设计第二课时

标题：抛物线的几何性质——焦点弦的常用结论

学科：高中数学

单位：浙江省衢州高级中学

姓名：朱玉芳

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邮编：324006 邮箱：297067802@qq.com 说明：

本教学设计是提炼了抛物线的一些常用结论在具体解题中的应用与深入，配有中学生比较喜爱的来自网络的数学歌曲——小苹果之《圆锥曲线》及用几何画板给出图像的运动变化来帮助学生直观的理解知识，对得到的结论又用学生看得见的图像运动的变化数据进行验证。培养学生用运动的观点来学习数学，提高学生的学习兴趣！同时也用简便的方法解决了抛物线中比较难的知识点，符合现在提倡结合多媒体进行教学的要求。体现了数形结合思想！课堂设计简洁、明了，思路清晰！

抛物线的几何性质——焦点弦的常用结论

教学目的：帮学生去探讨抛物线焦点弦的一些性质，并能应用于以后的解题中. 教学重点：抛物线焦点弦长度的简便计算，两端点坐标的定值关系，及角的关系.

教学难点：抛物线焦点弦的一些性质的推导与证明.

教学过程：

一、复习引入

1、如图，若P(x,y),则|PA|_______. _____.

焦半径|PF|__________

2、已知直线yx3与抛物线y24x交于A,B两点，求弦AB的长. y24x分析：①设建方程组：；②消元得一元二次方程：yx3y1y24④画图

y4y120；③得出韦达定理：yy12122求结论：d2|y2y1|82. 设计意图：提醒学生牢固抛物线概念，它是解题之本.

二、讲解新课

1、将上面例题改为：已知直线yx1与抛物线y24x交于A,B两点，求弦AB的长. 要求：①发现了什么？它告诉我们在以后的解题中要注重于观察！

②已知直线经过焦点，属于特殊直线，求解方法有没有特殊性？

③如果直线是过焦点的任意直线，有没有其他不变的结论？

分析：①抛物线的焦点坐标为(1,0)，发现直线经过抛物线的焦点. ②由复习1知，|AB|x1x2p.x6x10.x1x26,|AB|8. 2结论1、抛物线的焦点弦长：|AB|x1x2p

推论：当抛物线的焦点弦与对称轴垂直时，焦点弦长最短，此时的焦点弦称为抛物线的通经,其长为2p.

)k0）2、将问题一般化：已知直线yk(x（与抛物线y22px交于A,B两点，求弦AB的长. p2(k22)ppx1x222pkyk(x)k2222分析：

02kx(k2)px24y22pxxxpyy-p212124结论2px1x2k212、抛物线的焦点弦长：|AB|22p，特别的有4(其中kyyp212x1,x2,y1,y2分别是A,B的横纵坐标。) 3、将问题改为：已知过抛物线y2px的焦点，倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点，求弦AB的长. 给学生自己思考. 2结论3、抛物线的焦点弦长：|AB||AF|2p.(只要在结论2中k用tan代，给以化简) 2sinpp;|BF|(注意|AF|、|BF|的大小关系)1cos1cos

设计意图：已知给出焦点弦的不同条件，选用不同的方法计算. 4、涉及有关焦点弦的一些结论：

结论4、设AB为焦点弦，

AFA'F'F'为准线与x轴的交点，则AF'FBF'F；

(BFB'F'A'AF'B'BF') 结论5、抛物线中过焦点的弦的端点作抛物线的切线，交点在准线上.且交点与焦点弦的

中点的连线被抛物线平分.

结论6、A',B',C分别为A,B,M在准线上的投影，M为AB的中点.则ABC,A'B'F均为Rt.(抛物线中以过焦点的弦为直径的圆必与准线相切)，AOB必为钝角三角形。

结论7、若AO的延长线交准线于B'，则BB'平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于点B'，则A,O,B'三点共线.

设计意图：抛物线与焦点弦有关的图形出现时，要顺利看出其中隐藏的常用结论. p2.(为线段AB的倾斜角)

2sin结论8、线段AB是抛物线y三、练习

22px的焦点弦,则SAOB（2,2）1、抛物线y2x上过点的焦点弦长为_________________;0225

88

35

62、过抛物线y22x的焦点，倾斜角为60的弦长为_________________;3、过抛物线y22x焦点的直线l与抛物线交于A(,y1)、B(x2,y2)两点，求AOB的面积？注意：有多种方法可求. 924、过抛物线y4x焦点的直线l与抛物线交于A(4,y1)、B(x2,y2)两点，求以焦点弦为直径的圆的面积？(2252)8

2注意：有多种方法可求. 5、过抛物线y正三角形ABC的顶点C在准线上，则ABC4x的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，的边长为________________. 分析：如图，令正三角形边长为2a,则DD'a,CD

3a,CD'2a，kCD2,kAB2，而p2,

2k21

|AB|22p12

k评：关键是方法选择，最怕选繁琐的计算。

设计意图：给出不同的条件让学生熟练选择相应的结论来解题.

四、小结

牢记抛物线焦点弦的八个结论，搞清楚它的理由，在以后解题时学会观察，一旦出现有以上结论情况，适时应用！

五、作业

1、抛物线y22x的焦点弦长为5，则弦的中点横坐标为（

）

35

D

22x1x22

2

A

1

B2

C正确答案：B 分析：|AB|x1x2px1x215,x1x24,2、抛物线y24x过焦点F的弦长为16，则此弦所在直线的倾斜角为_________________. 3正确答案：60分析：|或120

AB|22p2216332

sin,sin,60或12022sinsin3423、抛物线y_.

4x过焦点F的弦被F分成长为m,n的两段，若mn6，则mn__________正确答案：6 分析：11mn21，而mn6,mn6. mnmnp24、过抛物线yaxq,则(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、11等于（

）

pq14

C 4a

D

2aa

A 2a

B

正确答案;C

5、抛物线y2的直线与抛物线交于A(x1,y2),B(x2,y2)两点，若x1x23，则|AB|(

)

（1,0）2x过点

A

4

B 15

C 7

D 5 2正确答案：A 6、(2017全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16

B．14

C．12

D．10

【考点】：抛物线焦点弦长度公式与不等式的结合。

【思路】：由题意可得两条直线的斜率一定存在且不为0，分别假设为k和1，故而可得kABDE84k2【解析】：选A。

7、过抛物线y244288164kk21k1时取等号。

，当且仅当22kk4x的焦点，且倾斜角为3的直线交抛物线于P,Q两点，O为坐标原点，则OPQ4的面积等于________________. 正确答案：2分析：SAOB2

p2422. 32sin2sin428、（2004上海春季4）抛物线y4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A,B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆的方程是_________________. 22（x1）y4

正确答案：分析：抛物线的焦点F的坐标为，因为AB为抛物线的通径，所以AB=4，即圆的半径为2，故方程为（1,0）2（x1）y24. 至此，通过以上题目的演示，我们可以清楚的看到这些结论在解决具体题目时的方便、快捷。可以给我们节省不少的解题时间，希望同学们能把这几个结论熟记.在今后的解题中能很好的应用.