3.2.3 空间的角的计算公开课参赛课教案

空间角计算教学设计

淮安市新马高级中学

孙丹丹

一．教材分析：

按照传统方法解例题几何题，需要有较强的空间想象能力，逻辑推理能力以及作图能力。学生往往由于这些能力的不足造成解题困难，因此苏教版教材分为必修和选修两部分，必修主要考察八大定理，选修则借助空间向量，利用坐标表示后，可将空间结构系统代数化，把空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算，有助于学生克服空间想象能力的障碍而顺利解题。

二．命题分析：

通过近几年高考试题分析，立体几何解答题在必修部分考察八大定理，选修则是在附加题部分考察，主要考察空间角的计算，利用空间角计算线线角，线面角，面面角。会隔年考察一次。

三．教学目标：

知识与技能：能用向量的方法熟练解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用。

过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展，学生空间想象能力和几何直观能力。

情感、态度、价值观：

1.通过本节课的学习，进一步强化学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。

2.通过数形结合思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力。

教学重点：两条异面直线的夹角，线面所成的角，二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别与联系。

教学难点：二面角的平面角与两个平面法向量夹角之间的区别与联系。

教学过程：

复习回顾：问题1：什么是线面角？

问题2:什么是线面角？

问题3：什么是面面角？

设计意图：通过提问，让学生复习巩固几个空间角的概念，对后面采用向量的方法设置一个铺垫？利用定义好找空间角的，可以用直接借助解三角形知识求角的大小，如果不好找，就要采用向量的方法进行求解；

问题引领：

问题1：异面直线B'C与C'D所成角如何求解？问题2：直线B'D与平面ABCD所成角如何求解？

问题3：二面角D-B'C'-D'怎样找？如何求解？

问题4：异面直线所成角、线面角、二面角最终都能归结为什么问题？

DC

A

B

D'A'B'C'

设计意图：通过正方体这个空间几何体，可以将空间角的几个概念进行复习，也可以引出空间角计算的向量方法，建立空间直角坐标系容易理解。

建构模型：

1.两直线l,m所成的角为(0≤≤2),cosabab；

例题讲解：

例1在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，BCCACC1，取A1B1,A1C1的中点D1,F1，求BD1和AF1所成角的余弦值.

1

F1C1D1CB1

ABA

设计意图：通过向量法对异面直线所成角的求解，针对性的在例1中体现实际解决问题的思路，和规范解题过程。

知识点2:直线与平面夹角

设直线l的方向向量分别为a，平面的法向量分别为u，直线l与平面所成的角为(0≤≤2),sinauau；

二面角的范围：

0,，①方向向量法：二面角─l ─的大小为uvuv(0≤≤),cos

.

法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；

同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。

例2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB5,AD8,AA14,M在B1C1上，B1M2,N在线段A1D上，A1DAN.(1)求直线A1D和AM所成角的余弦值；（2）求AD与平面AMN的夹角的正弦值；（3）求平面ANM和平面ABCD所成角的余弦值.

M

B1A1D1NC1D

ACB设计意图：通过本例，将空间角的知识进行综合，能够找出三种空间角向量方法求解时，之间的联系，便于方法总结。

变式：如图，已知直角梯形OABC中，OA//BC,AOC90，SO面OABC且OSOCBC1,OA2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角B－AS－O的余弦值.

S

O

A

C

B

四、课堂检测

1.三棱锥PABC,PA平面ABC,PAABAC,E为PC中点

,则PA与BE所成角的余弦值为_________ .

2.直三棱柱ABCA1B1C1中, A1A2,ABAC1,

则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为__________________.

3.正方体中ABCDA1B1C1D1中E为A1D1的中点, 则二面角EBCA的大小是________

4.如图所示，ABCD是直角梯形，ABBC,SA平面ABCD，SAABBC1,AD1,求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值. 2

S

BCDA五．课堂小结：

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法向量分别为u,v，则

两直线l,m所成的角为(0≤≤2),cosabab；

二面角─l ─的大小为(0≤≤),cosuvuv.

直线l与平面所成的角为(0≤≤2),sinauau；