3.1.3 空间向量的数量积运算教学内容分析

教者

课题

王昱

知识与技能

年级

高二

学科

空间向量与立体几何

数学

能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。

教学目标

过程与方法

情感态度价值观

通过平面向量进行迁移学习。

学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．

教学重点

空间向量的加减与数乘运算及运算律

教学难点

应用向量解决立体几何问题．

教学方法

讨论式

教 学 过 程

环节

知

识

回

顾

教师活动

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

提出问

题，帮助

学生回忆

平面向量向量的减法：

的基本知

识，为这⒊实数与向量的积：

节课顺利实数λ与向量a的积是一个向进行奠定量，记作a，其长度和方向规基础。



定如下：(1)|a||||a|



当λ＞0时，a与a同向；



当λ＜0时，a与a反向；

 当λ＝0时，a0.

向量加法和数乘向量满足以下运算律



加法交换律：abba

加法结合律：(ab)ca(bc)



数乘分配律：(ab)ab

1 教学内容

既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；



②用字母a、b等表示；

学生活动

积极回忆并回答

空间中具有大小和方向的量叫做向量

同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

空间任意两个向量是共面的

加法运算律：

⑴加法交换律：abba；

⑵加法结合律：(ab)ca(bc)；

向量与实数相乘法则：





（1数乘分配律：(ab)ab



(2)向量对数的分配律：(12)a1a2b

讲

授

向量的数量积（内积）：

新

ab|a||b|cosa,b

课

①abab0（用于判定垂直问题）

2

②aa（用于求模运算问题）

ab③（用于求角运算问题）

cos

ab

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

【提问】在平面内，不共线的两个向量就可以作一组基，可以表示该平面内的所有向量，那么空间内需要几个呢？

空间向量基本定理：已知空间中不共面的三个单位向量，e1,e2,e3，任意向量v。

通过迁移把平面向量的知识过渡到空间向量。



vxe1ye2ze3

(x,y,z)叫v在基e1,e2,e3下的坐标。记作v(x,y,z)。

【分析】虽然任意不共面的三个向量都可以作为空间的一

组基，但为了方便计算，我们往往选择两两垂直的三个单

位向量作为基建立坐标系。

2

认真感知空间向量与平面向量的相似之处与不同之处

x

z p ko iA jB y Q 【分析】过P点作平面xoy、平面xoz、平面yoz的任意一个面的垂线，在此作平面xoy的垂线，垂足为Q，则竖坐标便是QP的长度。而Q现在是平面xoy中的点，就按照平面直角坐标系求坐标的方法求横、纵坐标。令OA=x,OB=y,PQ=z。则

OPOQQPOAOBQP

xe1ye2ze3∴OP(x,y,z)

P(x,y,z)

【总结】在平面xoy内的点的坐标特点：(x,y,0)

在平面xoz内的点的坐标特点：(x,0,z)

在平面yoz内的点的坐标特点：(0,y,z)

在x轴上的点的坐标特点：(x,0,0)

在y轴上的点的坐标特点：(0,y,0)

在z轴上的点的坐标特点：(0,0,z)

3

动手在黑板上展示求坐标的基本方法

反复强调写坐标的方法，后面再用例题加以巩固。

思考求坐标的基本过程，并思考为什么能这样做。

总结规律，便于解题。



b(x2,y2)

b(x2,y2,z2)

ab(x1x2,y1y2)

ab(x1x2,y1y2,z1z2)

ab(x1x2,y1y2)

ab(x1x2,y1y2,z1z2)

对比讲解平面向量a(x1,y1)

a(x1,y1,z1)

运算和空间向量运|a|x12y12

|a|x12y12z12

算。



abx1x2y1y2abx1x2y1y2z1z2

平面向量a(x1,y1)，

空间向量a(x1,y1,z1)

cosx1x2y1y2xy2121xy2222

cosx1x2y1y2z1zzxyz212121xyz222222

给定两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)

dAB(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

x1x2y1y2z1z2,,)

222【总结】建立直角坐标系的基本原则：

①利用已知的两两垂直的三条直线；

②使尽可能多的点在坐标轴或者坐标平面上；

③若题中未出现两两垂直，则需要动手作出来。

体会空间向量的运算的基本公式。（在平面向量的基础上多了一个竖坐标）

A、B中点坐标：(课

堂

练

习

作

业

布

置

教

学

反

思

三维设计

必修三

向量坐标

例1 感悟解题高手

跟踪卷第100页（9，10选做）

第101页(9题不做) 准备不够充分，此节课适合用PPT讲。

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