5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切优秀教学设计

一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（3）

二、教学目标：1.复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练，培养综合运用公式的能力；

2.能推导和了解半角公式、和差化积及积化和差公式。

三、教学重、难点：掌握三个公式的推导方法，使学生体会到角的三角函数与2的三角函数的内在联系，，角的三角函数与角的三角函数之间的内在联系；

四、教学过程：

（一）复习：

1．二倍角公式

sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

2tantan2

1tan2【练习1】化简：

（1）cos20cos40cos60cos80；

（2）sin10sin30sin50sin70．

（（1）（2）两题答案：1）．

16sin(2n1)总结：一般地，coscos2cos4cos2n1．

2sinn2．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：

sin221cos1cos1cos22，cos，tan．

22221cos（二）新课讲解：

1．半角公式：

sin21cos1cos1cos，cos，tan．

22221cos说明：（1）只要知道角终边所在象限，就可以确定符号；

2（2）公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切；

2sin1cos（3）还有一个有用的公式：tan（下面给出证明）。

21cossinsin1cos

．

21cossin2．例题分析：

例1：求证：tan222sin

．

证法一：tan2coscos2cos1cos222sinsin2cos

- 1 -

1cos(1cos)(1cos)sin2()

21cos(1cos)(1cos)1cossin|sin|∴|tan||．

|21cos1cos又由sin2sincos2tancos2知sin与tan同号，且1cos0，

22222sin1cos．

∴tan，

同理tan21cos2sin2cos2sin132【练习2】已知sin2，且02，求的值。

522sin()证法二：tan242sin()1cos(2)1cossin11sin21．

42（略解）原式tan()4cos222sin()2sin()sin(2)442（解法2）原式1cossin12sin()412cossin1tan1．

cossin1tan2．

cos22例2：求证：（1）sincos[sin()sin()]；（2）sinsin2sin证明：（1）将公式S()与公式S()的左边、右边分别相加，得

sin()sin()2sincos

1所以，sincos[sin()sin()]．

2（2）在（1）题中，令,，则把，的值代入，就有sin所以，sinsin2sin2，2．

2cos2．

1(sin)，

22cos2五、课堂练习：课本46页练习2（1）、3（1）题。

六、小结：1．巩固倍角公式，会推导了解半角公式、和差化积及积化和差公式。

七、作业：课本46页

练习2(2)，3(2)题。

补充：1．化简sin6cos24sin78cos48．

432．已知cos，且2，求tan的值。

25213．已知|cos|，且53，求sin的值。

2524．已知sinx，且x是锐角，求sinxcosx的值。

522

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773sin2(1tan)5．已知cos()，且，求的值。

124451tan

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