3.1.3 导数的几何意义第二课时教学实录

第三章

导数及其应用

3.1

变化率与导数

3.1.3

导数的几何意义

A级

基础巩固

一、选择题

1．下列说法正确的是(

) A．曲线的切线和曲线有且只有一个公共点

B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线

D．若y＝f(x)在点(x0，f(x))处有切线，则f′(x0)不一定存在

解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为x＝x0，故C错误，D正确．

答案：D

2．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(

) A．f′(x0)>0

B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0

D．f′(x0)不存在

解析：因为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)＝2>0.

答案：A

3．若曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(

) 11A．1

B.

C．－

D．－1 22解析：因为f′(1)＝a（1＋Δx）2－a×12

＝

Δx

(2a＋aΔx)＝2a，

2aΔx＋a（Δx）2

＝Δx所以

2a＝2，所以

a＝1.

答案：A 114．y＝－在点2，－2处的切线方程是(

) xA．y＝x－2

C．y＝4x－4

1B．y＝x－

2D．y＝4x－2 Δx111解析：先求y＝－的导数：Δy＝－＋＝，xx＋Δxxx（x＋Δx）Δy1＝，Δxx（x＋Δx）Δy

＝Δx111

＝2，即y′＝2，xx（x＋Δx）x111，－2所以y＝－在点2处的切线斜率为k＝y′|x＝＝4.所以切线方x21x－程是y＋2＝42，

即y＝4x－4.

答案：C 5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为(

) A．(－2，－8)

B．(－1，－1)或(1，1)

C．(2，8)

11D.－2，－8

解析：设点P的坐标为(x0，y0)，

则k＝f′(x0)＝f（x0＋Δx）－f（x0）＝＝Δx

（x0＋Δx）3－x30＝

Δx2[(Δx)2＋3x20＋3x0·Δx]＝3x0.

2因为k＝3，所以

3x0＝3，所以

x0＝1或x0＝－1，

所以

y0＝1或y0＝－1.

所以

点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．

答案：B 二、填空题

6．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．

解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.

答案：3 127．曲线f(x)＝x的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为2________．

1122（x＋Δx）－x22＝＝x.因为直线x－y＋1＝0Δx解析：f′(x)＝111的斜率为1，所以x＝1，所以f(1)＝×1＝，切点为1，2.故切线2211方程为y－＝1·(x－1)，即x－y－＝0.

22

1答案：x－y－＝0

218．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．

1解析：由导数的几何意义，得f′(1)＝，又切点在切线上，故f(1)215＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.

22答案：3 三、解答题

9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？

解：y′＝（x＋Δx）2－x2

＝Δx

(2x＋Δx)＝2x.

设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，

则＝2x0＝4，解得x0＝2.

2所以y0＝x0＝4，即P(2，4)．

设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，

则11＝2x1＝－，解得x1＝－.

48111，即Q－8，64.

642所以y1＝x1＝故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在11点－8，64处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0. 11. －1，10．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q2t－x(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；

(2)求曲线在点P，Q处的切线方程．

1解：将(2，－1)代入y＝，得t＝1，

t－x1所以y＝.

1－xy′＝

Δy

Δx＝11－1－（x＋Δx）1－x

ΔxΔx

[1－（x＋Δx）]（1－x）Δx1

（1－x－Δx）（1－x）＝＝1＝.

（1－x）2(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝1Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝.

4(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，11曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0. 24B级

能力提升

1．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1，3)，则b的值为(

) A．3

B．－3

C．5

D．－5 解析：点(1，3)既在直线上，又在曲线上．由于y′＝

1＝1；曲线在点（1－2）2

（x＋Δx）3＋a（x＋Δx）＋b－（x3＋ax＋b）

＝3x2＋a，Δx所以y′|x＝1＝3＋a＝k，将(1，3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又点(1，3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，故1＋a＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3.

答案：A 92．曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角等于________．

xf（x＋Δx）－f（x）

＝9Δx11－x＋Δxx

＝－Δx解析：f′(x)＝9

199＝－2，所以

f′(3)＝－＝－1，又因为直线的倾x9（x＋Δx）x斜角范围是[0°，180°)，所以

倾斜角为135°.

答案：135°

3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

解：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0322＋Δx)－1－(x0＋ax0－9x0－1)＝(3x0＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)2＋(Δx)3，

Δy2所以＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx).

Δx当Δx无限趋近于0时，

Δy2无限趋近于3x0＋2ax0－9，

Δx即f′(x0)＝3x20＋2ax0－9，

a2a2所以f′(x0)＝3(x0＋)－9－.

33

a当x0＝－时，

3a2f′(x0)取最小值－9－.

3因为斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，

所以该切线斜率为－12.

a2所以－9－＝－12.

3解得a＝±3.又a＜0，

所以a＝－3.