3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计一等奖

学案编号：sxxx1014

广州市禺山高级中学高二级数学科

课题：§3.1.3．空间向量的数量积

班级：

姓名：

学号：

使用时间：

【课时安排】1课时

【学习目标】

1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，利用两个向量数量积解决立体几何中的一些简单问题．

【重点难点】空间向量夹角和模的概念及表示方法、两个向量的数量积的计算方法是重点；

利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题是难点．

【课前预习】教材P90~ P92

【课前检测】

1：什么是平面向量a与b的数量积？

2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求ABBC.

【自主探究】

1、空间向量的数量积定义和性质

问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？

OBAaOB,b，1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，在空间

一点O，作O则A叫做向量a与b的夹角，记作

. 2) 向量的数量积：已知向量a,b，则

叫做a,b的数量积，记作ab，即ab

. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 【成果展示】

1、⑴

范围:

a,b

a,b=0时,a与b

;a,b=π时,a与b

⑵

a,bb,a成立吗？

⑶a,b

，则称a与b互相垂直，记作

. 2、⑴

两个向量的数量积是数量还是向量？

⑵

0a

（选0还是0）

⑶

你能说出ab的几何意义吗？

3、

空间向量数量积的性质：

（1）设单位向量e，则ae|a|cosa,e．

（2）abab

．

（3）aa

＝

. 4、

空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）

5、⑴

（ab)ca(bc)吗？举例说明. ⑵

若abac，则bc吗？举例说明.

⑶

若ab0，则a0或b0吗？为什么？

【重点难点突破】

例1

用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

变式1：用向量方法证明：已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln. 求证：l．

1

学案编号：sxxx1014

广州市禺山高级中学高二级数学科

D

例2

如图，在空间四边形ABCD中，AB2，BC3，BD23，

CD3，ABD30，ABC60，求AB与CD的夹角的余弦值

A

变式：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若

C

B

AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角为（

）

A.

60°

B.

90°

C.

105°

D.

75°

例3

在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，

AB4,AD3,AA'5,BAD90,

BAA'=DAA'=60°,求AC'的长.

【课堂练习】

1. 已知向量a,b满足a1，b2，ab3，则ab____. 2.

已知a22,b2,ab2, 则a与b的夹角大小为_____.

2【讲评小结】

1..向量的数量积的定义和几何意义.

2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 【拓展延伸】

向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.

【课堂练习】

A组基础训练题

1.

已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与2e2e1垂直的是（

）

3A. e1e2

B. e1e2

C. e1

D. e2

2.已知ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c，且a3,b1,C30,则BCCA=

B组知识拓展题

3. 已知a4，b2，且a和b不共线，当

ab与ab的夹角是锐角时，的取值范围是

. 4. 已知向量a,b满足a4，b2，ab3，则ab____ C组能力提升题

5.

下列命题中：①若ab0，则a，b中至少一个为0

②若a0且abac，则bc

③(ab)ca(bc)

④(3a2b)(3a2b)9a4b

正确有个数为（

）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

【课后作业】

1. 已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC. 2. 已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB, AC,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.

收获：

存在问题：

22

2