3.1.1 空间向量及其加减运算教学评价实录

空间向量运算的坐标表示

掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并知识与能力

会用这些公式解决有关问题．

1、

掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。

2、

会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。

教学目标

过程与方法

掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。

情感态度价值观

教学重、难点

教学方法

课时安排

新

课

讲

解

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。

重点：夹角公式、距离公式．

难点：夹角公式、距离公式的应用．

启发式教学，归纳

1课时

1、向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，求这两个向量的模. 222｜a｜＝a12a2，｜b｜＝b12b2这两个式子我们称为向量的长度公式．

a3b32．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

2. 夹角公式推导：∵

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞

222

∴

a1b1a2b2a3b3＝a12a2·b12b2a3b32·cos＜a,b＞

由此可以得出：cos＜a,b＞＝a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223

这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

dA、B(x2x1)2(y1y2)2(z1z2)2，其中dA、B表示A与B两点间的距离

1.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．

(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k. 解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，

1

例

题

讲

解

－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以k－25k＋3－k＋51＝＝，解得k＝－. 7－4－163(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝1060，解得k＝. 3【反思感悟】

以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b⇔x1＝λx2且y1＝λy2，且z1＝λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 82.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，则λ为(

) 922A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－

5555答案

C a·b6－λ8解析

由cos〈a，b〉＝＝＝，

|a||b|35＋λ2922化得55λ＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝. 553.．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是(

) A．90° B．60° C．30° D．0°

答案

A解析

∵|a|＝|b|＝2，∴(a＋b)·(a－b)＝a－b＝0. 1.基本知识：

（1）空间向量坐标表示及其运算

（2）向量的长度公式与两点间的距离公式；

22课堂

小结

（3）求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. 2.思想方法：

用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。

教后

反思

2