正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系优秀获奖教案

24．3

正多边形和圆

教学目标

1．了解正多边形和圆的关系．

2．了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念，能通过等分圆周作正多边形．

3．能进行正多边形的有关计算．

教学重点

探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算．

教学难点

探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系．

教学过程设计

一、创设情景

观察上图中美丽的图案，思考下面的问题：

(1)这些都是日常生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能从中找出正多边形吗？

(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？在圆内怎样作一个圆的内接正多边形？

二、合作探究

探究一

正多边形的有关概念

活动一：

如图，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得六边形ABCDEF.求证六边形ABCDEF是正六边形．

【展示点评】∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，

∴__AB__＝__BC__＝__CD__＝__DE__＝__EF__＝__FA__ BCF＝CDA＝__4__AB. ∴∠__A__＝∠__B__．

同理∠__B__＝∠__C__＝∠__D__＝__E__＝∠__F__．

又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上，

∴六边形ABCDEF是⊙O的__内接正六边形__，⊙O是六边形ABCDEF的__外接圆__．

【小组讨论】将一个圆分成六等份，依次连接各分点得到一个六边形，这个六边形一定是正六边形．教材是如何证明这个真命题的？试结合这个图形说说正六边形的中心、半径、中心角、边心距．

【反思小结】掌握正多边形的有关概念是学好正多边形的问题的关键，应结合图形认真领会概念的含义．

【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一

探究点二

与正多边形有关的计算

活动二：出示教材第106页例题．

问1：求地基的周长和面积的关键是要先求这个正六边形的什么？

问2：正六边形具有什么特征？

【展示点评】通过作辅助线把正多边形的问题转化成三角形问题，利用勾股定理可求得边心距，从而求出地基的面积．

【小组讨论】正多边形的中心、半径、中心角、边心距之间的关系如何？例题求边心距是在哪个三角形中进行的？这样的三角形涉及到哪几个量？它们之间有何关系？

【反思小结】正多边形的性质：①正多边形的一个内角等于(n－2)180°/n；②正多边形的中心角等于360°/n；③正多边形的中心角与外角相等．另外有：正多边形的边数是奇数时，只是轴对称图形；边数是偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．

【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二

探究点三

正多边形的画法

活动三：阅读教材第107页内容．

【展示点评】同圆中相等的圆心角所对弧相等，因此，作相等的圆心角就可等分圆周，从而得到相应的正多边形．

【小组讨论】借助圆画正多边形的关键是什么？如何等分圆周？教材介绍了哪几种方法？

【反思小结】等分圆周，一可以用量角器等分圆周，二可以用尺规等分圆周．用量角器等分圆周时可以依次作相等的圆心角来达到等分圆的目的．对于尺规方法，理论上讲是精确的，但不是任意等分圆都能用这种方法，而且作图时也存在误差．

【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点三

四、总结梳理

1．正多边形的概念要具备________和________两个要素，二者必须同时具备．

2．正多边形与圆(观察图填空)．

正多边形的中心：______．

正多边形的半径：______．

正多边形的中心角：______．

正n边形的每个中心角都等于______．

正多边形的边心距：______．

3．画正多边形技巧．

(1)用量角器等分圆：先用量角器画一个等于360°,n的圆心角，再在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧．

(2)用尺规等分圆：可作正2n(n≥2的整数)边形，如正四、八、……边形；可作正3n(n≥2的整数)边形，如正三、六、十二、……边形．

五、达标检测

1．边长为a的正三角形的边心距、半径(外接圆的半径)和高之比为__1∶2∶3__

2．一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为( B ) A．1∶2

B．2∶3

C．3∶4

D．3∶2 3．已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积为( B )

A．1,2π

B．π

C．2π

D．3π

4．如果一个正多边形的外角等于它内角的1,2，则这个多边形是( D ) A．正三角形

B．正四边形

C．正五边形

D．正六边形

六、布置作业

1．教材第108页第1，2，3题．

2．练习册