测试第二课时 公开课

（中考复习）二次函数中判定四边形问题（一）

一、解答题

1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；

（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

试卷第1页，总4页

2．如图，已知抛物线

（

＞0）与

轴交于A，B两点（A点在B点左边），与

轴交于点C。

（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求

的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；

（3）如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交

轴交于点E，若AE:ED＝1:4，求

的值.

试卷第2页，总4页

3．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

试卷第3页，总4页

4．如图，已知二次函数

的图象经过点 ，与

轴分别交于点

，点 .点

是直线 上方的抛物线上一动点.

（1）求二次函数

的表达式；

（2）连接 ， ，并把 沿

轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求出此时点

的坐标；

（3）当点

运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时

点的坐标和四边形 的最大面积.

试卷第4页，总4页

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参考答案

1．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣，﹣）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平

行四边形，P的坐标为（1+

，2）或（1﹣

，2）或（2，﹣3）．

【解析】

【分析】

（1）把A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；

（2）由题意得到直线BC与直线AM垂直，求出直线BC解析式，确定出直线AM中k的值，利用待定系数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；

（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．

【详解】

（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：

，

解得：

，

则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，

把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，

∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，

∴直线AM解析式为y=

x+m，

把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，

∴直线AM解析式为y=x﹣1，

联立得：

，

解得：

，

则M（﹣

，﹣

）；

（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，

分两种情况考虑：

答案第1页，总9页

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设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），

当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），

根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，

解得：m=1±

，x=2±

，

当m=1+

时，m2﹣2m﹣3=8+2

﹣2﹣2

﹣3=3，即P（1+

，3）；

当m=1﹣

时，m2﹣2m﹣3=8﹣2

﹣2+2

﹣3=3，即P（1﹣

，3）；

当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），

根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，

解得：m=0或2，

当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），

综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+

，2）或（1﹣

，2）或（2，﹣3）．

【点睛】

此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质以及平移规律，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

2．（1）

；（2）点P的坐标为

；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用三角形相似可求AO•OB，再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB构造方程求n；

（2）求出B、C坐标，设出点Q坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点P坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q点坐标；

（3）设出点D坐标（a，b），利用相似表示OA，再由一元二次方程根与系数关系表示OB，得到点B坐标，进而找到b与a关系，代入抛物线求a、n即可．

【详解】

（1）若△ABC为直角三角形

∴△AOC∽△COB

∴OC2=AO•OB

当y=0时，0=

x2-

x-n

答案第2页，总9页

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由一元二次方程根与系数关系

-OA•OB=OC2

n2=

＝−2n

解得n=0（舍去）或n=2

∴抛物线解析式为y=

；

（2）由（1）当

=0时

解得x1=-1，x2=4

∴OA=1，OB=4

∴B（4，0），C（0，-2）

∵抛物线对称轴为直线x=- ＝−∴设点Q坐标为（

，b）

由平行四边形性质可知

当BQ、CP为平行四边形对角线时，点P坐标为（

，b+2）

代入y=x2-x-2

解得b=，则P点坐标为（，）

当CQ、PB为为平行四边形对角线时，点P坐标为（-，b-2）

代入y=

x2-

x-2

解得b=，则P坐标为（-，）

综上点P坐标为（

，

），（-

，

）；

（3）设点D坐标为（a，b）

∵AE：ED=1：4

则OE=

b，OA=

a

∵AD∥AB

∴△AEO∽△BCO

∵OC=n

答案第3页，总9页

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∴ ＝

∴OB=

由一元二次方程根与系数关系得，

＝

＝

∴b=a2

将点A（-

a，0），D（a， a2）代入y=

x2-

x-n

＝

＝

解得a=6或a=0（舍去）

则n= .

【点睛】

本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想．

3．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或的坐标为（

，﹣

）或（

，﹣

）．

【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2

，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2

，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=

PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），

AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（

，-

），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-

x+b，把E（

，-

）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-

x-

，则解方程组

或

-

；②点M答案第4页，总9页

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＝

＝

得

M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用

对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），

当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得

，解得

，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴AM=

AB=

×4=2

，

∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=2

，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

，

∴PD=

PQ=

×2

=4，

设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），

答案第5页，总9页

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当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，

当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=综上所述，P点的横坐标为4或

，m2=

-

，

或

-

；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C，

∴∠ACM1=∠CAM1，

∴∠AM1B=2∠ACB，

∵△ANB为等腰直角三角形，

∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣，

设直线EM1的解析式为y=﹣

x+b，

把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，

∴直线EM1的解析式为y=﹣

x﹣

解方程组

得

，则

M1（

，﹣

）；

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

设M2（x，x﹣5），

答案第6页，总9页

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∵3=

∴x=，

∴M2（

，﹣

）.

综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

4．（1）该二次函数的表达式为

；（2）点P的坐标为（点的坐标为

，

，四边形ABPC的面积的最大值为

．

【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；

（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

【解答】（1）将点B和点C的坐标代入

,

，解得

，

．

得

∴

该二次函数的表达式为

．

（2）若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；

如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵

C（0，3），

∴

E（0，

）,

∴

点P的纵坐标等于

．

∴

,

解得

，）；（3）P

，

（不合题意，舍去），

∴

点P的坐标为（

，

）．

答案第7页，总9页

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（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（m，

），设直线BC的表达式为

，

则

,

解得

.

∴直线BC的表达式为

．

∴Q点的坐标为（m，

），

∴

.

当

，

解得

，

∴

AO=1，AB=4，

∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ

=

=

=

．

当

时，四边形ABPC的面积最大．

此时P点的坐标为

，四边形ABPC的面积的最大值为．

【点评】本题考查了待定系数法求一次

二次

函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积、解一元二次方程，解题的关键是： 根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；答案第8页，总9页

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求出点P的纵坐标等于，列一元二次方程求解； 列出面积的关于

的二次函数，根

据二次函数的性质进行求解即可.

答案第9页，总9页