3.1.2 导数的概念教学设计案例

导数教学设计及反思

一. 教学目标

（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数. （2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．

（3）情感、态度与价值观目标：

通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

二. 教学重、难点

重点：导数的定义和利用定义如何计算导数．

难点：对导数概念的理解．

三.教学方法和手段

1. 教法：引导式教学法

在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成． 2. 教学手段：多媒体辅助教学

四.教学过程

（一）情境引入

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

17世纪数学家遇到的三类问题：

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。

CBCBAA

图 1 光在平面上的反射 图 2 光在球面上的反射

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB

与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线 所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。（展示课件）

(二)探索新知

问题1 已知：匀加速直线运动方程为：s(t)v0t12at，t[0,T]，求：物体在2t0时刻（t0[0,T]）的瞬时速度。

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

vs(t)s(t0)

tt0若tt0时平均速度的极限存在，则极限

vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）

xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktanf(x)fx(0)（为割线MT的倾角）

limxx0xx0为点M处的切线的斜率。

（三）导数的定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limxx0f(x)f(x0）存在，则称函数xx0f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。

即

f'(x0)f(x)fx(0）

limxx0xx0也可记作yxx，odydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果

函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）

f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）

x单侧导数的概念

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim

（0x）

x0xx存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f'(x0)。

左导数

f'(x0)ylim。

x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f'(x0)存在f'(x0)，f'(x0)都存在，且f'(x0)=f'(x0)。

（四）知识巩固

2例题1 求f(x)x在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解：由定义可得：

yf(1x)f(1)(1x)21f'(1)limlimlim

x0xx0x0xx

2xx2limlim(2x)2

x0x0x附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题

例题2 设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

证 'f(x)f(x) f(x)f(x)

f(0x)f(0)f(x)f(0)lim

x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xx

又f(0)lim

x0 limx0f(0)0

附注：需要注意公式f'(x0)limxx0f(x)f(x0)的灵活运用，它可以变化成其他的形式。

xx0例3 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。

证明

x0limf(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1

，x0xx0x0xx0x0limx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。

（五）应用提高

求曲线yx在点（－1，－1）处的切线方程为 ( A ) x2A. y=2x＋1 B. y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2 （六）作业布置

1．已知f(1)2012，计算：

'f(1x)f(1)f(1x)f(1) (2)lim x0x0xxf(1)f(1x)f(12x)f(1)(3)lim (4) lim x0x04xx(1)lim2.计算函数f(x)2x3在点（1，1）处切线的方程。

2

五 教学反思：本节课让我得到了以下几点启示：

1 课堂教学需要师生互动，教师需要倾听学生的声音。其实学生不乏真知灼见，现代教学强调探究的过程，而教师设计的教学环节在实际过程中可能随时被颠覆，所以碰到这种情况的时候，作为教师应该显示勇者的胆识和智者的胸怀，敢于舍弃某些精心准备的环节，乐于到课堂中倾听另外的声音，善于从学生的回答和讨论中发现问题。

2 教师应深入的钻研教材，有效地整合教学资源，创造性地使用教材，在课堂教学中，教师应该根据教学内容的特点，结合学生的需要，恰当的和运用多媒体，有效的整合教学资源，更好地揭示数学知识的发生，发展过程，帮助学生更好地理解数学知识，发展数学思维。本堂课的教学突出知识的形成过程，理解导数的内涵是本节课的教学重点，也是本节课的教学难点，通过举例层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生自己感受，通过直观感受来突出重点，突破难点。进而更深刻的体会事物变化的规律。不仅让学生领悟到数学来源于生活，更让学生明白数学可以作用于实践，从而可以进一步提高学生解决实际问题的能力。

3 教师应该有效的引导学生探究。实施新课程后，在课堂教学中，老师的角色由知识的传授者转变为学生发展的促进者，学习动机的激发者，学生活动的组织者，参与者，课堂气氛的营造者。而本节课尤其让我体会到自己不能再像过去一样直接把知识传递给学生，而是应该启发学生自己去思考，自己去探究问题的真相。本节课的设计围绕以学生为主教师为辅，师生互动共同探索的原则，先举例，再提出问题，激发学生的求知欲，再数形结合，动手计算，组织学生自主探索，获取导数的内涵，在例题方面，始终从问题出发，层层设疑，让学生们在探索中获得新的知识，变式训练深化对导数内涵的理解，巩固新的知识，力图让学生从懂到会到悟，体会钻研的感受，品尝成功的喜悦。从而使学生在积极活跃的思维过程中，数学能力和数学素养得到提高。

总体来说，本节课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识。教学的重点放在了思想方法上，再结合教材中的思考问题以及练习，不仅使学生建立起导数和定积分的概念，同时使学生体会到解决数学问题的一般方法，即从特殊到一般，从具体到抽象这一认知过程，培养学生思维的深刻性。这节课总体比较抽象，学生不太容易接受，但利用多媒体技术这种情况就有了根本性的改变，从直观上让同学们感受到了导数，动态且直观，生动而形象。本节课虽然为达到预期的目标，但是我相信本着新课标的理念，循序渐进，学生有一定会有进步。