信息技术应用 图形技术与函数性质教学活动设计方案

1.3.2 函数的极值与导数

教学目标

1

知识与技能

〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值

2

过程与方法

结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3

情感与价值

感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

重点：利用导数求函数的极值

难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件

教学设计：

一

课前探究：

模块一：

1）求函数

单调区间，请问两个单调区间的临界点x=

,可不可以作为增区间的端点或减区间的端点，为什么？（目的是：激活单调性概念，建立导数与单调性间的关系）；求出临界点处切线方程。

2）请找出下列函数单调区间的临界点，并求处临界点处的切线方程。

9(1)y＝x＋x；

(2) f(x)＝x3-3x＋8

9解

(1)函数y＝x＋x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．

99∵y＝x＋x，∴y′＝1－x2. 9当y′＞0，即x＞3或x＜－3时，函数y＝x＋x单调递增；

当y′＜0，即－3＜x＜0或0＜x＜3时，

9函数y＝x＋x单调递减．

9故函数y＝x＋x的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．

9函数y＝x＋x的大致图象如图(1)所示．

3）你能画出这两个函数的大致图像吗？同样的它们单调区间的临界点能否作为增区间的端点或减区间的端点，为什么？

4）有一种学习方法叫归纳总结，你能从上述实例中，归纳出哪些观点和方法？（可以从单调性、临界点、以及它们与导数之间的关系进行归纳。）

5）是时候给临界点、以及它对应的函数值，命一个好听的名字啦，你可以参考课本27页的内容，或者扫描二维码，或者百度一下，看看你都收集到哪些相关资料？

模块二：

1，请你分辨同一坐标系下的两个函数图像，哪个是原函数图像，哪个是其导函数图像？你是怎么判断的？

二

课堂探究：

一）模块一：

1，小组合作交流；

2，课堂展示；

3，教师点评：

1）

极值点、极值的概念

附近左侧

点x=a

附近右侧

附近左侧

点x=b 附近左侧

导数

函数

2)

找极值的方法

4，

知识应用：

例1，求函数fxx34x4的极值

教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点；

②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导

解:∵fxx34x4∴f'x=x2-4=(x-2)(x+2) 令f'x=0,解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论: (1)当f'x＞0,即x＞2,或x＜-2时; (2)

当f'x＜0,即-2＜x＜2时.

当x变化时, f'x,f(x)的变化情况如下表: x f'x

1313(-∞,-2)

+ 单调递增

-2 0 28

3(-2,2) _ 单调递减

2 0 4

3(2,+∞)

+ 单调递增

f(x)

因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 小值,且极小值为f(2)= 

函数fxx34x4的图象如: 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: 134328;当x=2时,f(x)有极

3fx13x4x4321求f'x,解方程f'x=0,当f'x=0时: 2(1)

如果在x0附近的左边f'x＞0,右边f'x＜0,那么f(x0)是极大值. (2)

如果在x0附近的左边f'x＜0,右边f'x＞0,那么f(x0)是极小值

5，求下列函数的极值.

(1)y=x2－7x+6

(2)y=x3－27x

(3)y=(x2－1)3+1

(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7 7令y′=0，解得x=2. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表. x

y

y

7,2

72

7,2

－

↘

0 25极小值4

+ ↗

257∴当x=2时，y有极小值，且y极小值=－4. (2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表. x

y

,3

+ ↗

-3 0 极大值(-3,3) －

↘

3 0 极小值3,

+ ↗

y

54 -54

∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54. 当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54

(3)解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2

令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1

当x变化时，y′，y的变化情况如下表

x

y

y

,1

－

↘

-1 0 无极值

(-1,0) －

↘

0 0 极小值0 (0,1) + ↗

1 0 无极值

1,

+ ↗

∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0 yfx = x2-13+1-1O1x

6，教师点评：

函数f(x)在x=a处有极值

f/(a)＝0 ——必要性

函数f(x)在x=a处有极值

f/(a)＝0 ——没有充分性

二）模块二：

1，小组合作交流；

2，课堂展示；

3，教师点评：

4，练习：

如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=f'x的图象?

三

课堂检测：

请你画出函数f(x) = x3 + x2 – x + 1 的大致图像

四

课堂反思：

从知识、教训、学习方法等方面反思你今天的学习

五

作业：A组，3，5（画出大致图像）